Matematika Ipa Um-Ugm 2015 Arahan 631 [Soal Dan Pembahasan]

To the point aja ya...! Hari ini kembali Soal Terbaru menyebarkan yaitu Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2015 Kode 631 dengan keinginan kiranya soal dan pembahasan ini bermanfaat bagi adik-adik sekalian yang ingin mengikuti ujian tulis Universitas Gadjah Mada (UTUL-UGM) dan untuk memenangkan suatu ujian/seleksi maka perlu banyak berlatih soal-soal terdahulu. Yukk... kita pelajari bersama..! Jika ada yang kurang terang atau ada pembahasan yang ingin dikoreksi mari berdiskusi melalui kolom komentar.

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 1

Jika garis $2x+y+4=0$ dan $2x+y-6=0$ menyinggung bulat dengan sentra $(1,p)$ maka persamaan bulat tersebut ialah …

A. $x^2+y^2-2x+2y-3=0$

B. $x^2+y^2-2x-2y-3=0$

C. $x^2+y^2-2x-4y-3=0$

D. $x^2+y^2-2x-4y-3=0$

E. $x^2+y^2-2x+4y=0$

Pembahasan:

Jarak titik $(1,p)$ ke garis $2x+y+4=0$ sama dengan jarak titik $(1,p)$ ke garis $2x+y-6=0$, maka:

$\left| \frac{2.1+p+4}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}} \right|=\left| \frac{2.1+p-6}{\sqrt{2^2+1^2}} \right|$

$\left| p+6 \right|=\left| p-4 \right|$

${{(p+6)}^{2}}={{(p-4)}^{2}}$

${{p}^{2}}+12p+36={{p}^{2}}-8p+16$

$20p=-20\Leftrightarrow p=-1$

Panjang jari-jari bulat ialah jarak titik $(1,p)=(1,-1)$ ke garis $2x+y+4=0$,

$r=\frac{2.1+(-1)+4}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}$

$r=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

Persamaan lingkaran:

${{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}={{(\sqrt{5})}^{2}}$

${{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}+2y+1=5$

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-3=0$

Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 2

Nilai minimum fungsi $f(x)=2\sin x+\cos 2x$ pada $0\le x\le 2\pi $ ialah …

A. -4   B. -3   C -2   D. -1  E. 0

Pembahasan:

$f(x)=2\sin x+\cos 2x$

$f'(x)=2\cos x-2\sin 2x$

$f'(x)=0$

$2\cos x-2\sin 2x=0$

$\cos x-2\sin x\cos x=0$

$\cos x(1-2\sin x)=0$

$\cos x=0\Rightarrow {{x}_{1}}={{90}^{o}},{{x}_{2}}={{270}^{o}}$

$\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow {{x}_{3}}={{30}^{o}},{{x}_{4}}={{150}^{o}}$

$f(x)=2\sin x+\cos 2x$

$f({{30}^{o}})=2\sin {{30}^{o}}+\cos {{2.30}^{o}}=\frac{3}{2}$

$f({{90}^{o}})=2\sin {{90}^{o}}+\cos {{2.90}^{o}}=1$

$f({{150}^{o}})=2\sin {{150}^{o}}+\cos {{2.150}^{o}}=\frac{3}{2}$

$f({{270}^{o}})=2\sin {{270}^{o}}+\cos {{2.270}^{o}}=-3$

Jadi, $f{{(x)}_{\min }}=-3$

Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 3

Hasil pencerminan titik $C(-4,-2)$ terhadap garis $ax+by+6=0$ ialah $C'(4,10)$. Nilai $a+2b$ ialah …

A. -8   B. -4  C. 2  D. 4   E. 8

Pembahasan:

$ax+by+6=0$ melalui titik tengah $C(-4,-2)$ dan $C'(4,10)$ yaitu: $\left( \frac{-4+4}{2},\frac{-2+10}{2} \right)=(0,4)$ maka $a.0+b.4+6=0\Rightarrow b=\frac{-3}{2}$.

Gradien garis $ax+by+6=0$ tegak lurus dengan garis $CC'$ maka:

$\frac{-a}{b}.\frac{10-(-2)}{4-(-4)}=-1$

$\frac{-a}{b}.\frac{3}{2}=-1$

$a=\frac{2}{3}b$

$a=\frac{2}{3}.\left( -\frac{3}{2} \right)=-1$

$a+2b=-1+2.\left( -\frac{3}{2} \right)=-4$

Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 4

Diketahui vektor $\vec{p}=a\hat{i}+b\hat{j}+2\hat{k}$, $\vec{q}=\hat{i}+2\hat{j}+c\hat{k}$, dan $\vec{r}=3\hat{i}+6\hat{j}+c\hat{k}$ dengan $a,b\ne 0$. Jika $p\bot q$ dan $p\bot r$, maka $\frac{{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}{ab}$ = ...

A. -8   B. -4   C. -2   D. 2  E. 4

Pembahasan:

$p\bot q\Rightarrow p.q=0$

$\left( \begin{matrix}   a  \\  b  \\   2  \\  \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix}  1  \\   2  \\   c  \\ \end{matrix} \right)=0\Leftrightarrow a+2b+2c=0$ … (1) 

$p\bot r\Rightarrow p.r=0$

$\left( \begin{matrix}   a  \\   b  \\   2  \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix}   3  \\   6  \\   c  \\ \end{matrix} \right)=0\Leftrightarrow 3a+6b+2c=0$… (2)

Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1) diperoleh: $2a+4b\Leftrightarrow a=-2b$

$\frac{{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}{ab}=\frac{{{(-2b)}^{2}}+4{{b}^{2}}}{-2b.b}=-4$

Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 5

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4p. Titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada rusuk FG, BF, dan GH dengan GP = BQ = GR = p. Sudut antara bidang yang melalui titik P, Q, R dan bidang ABCD ialah $\alpha$. Nilai $\tan \alpha$ ialah …

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$   B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$   C. 1   D. $\sqrt{2}$   E. $\sqrt{3}$

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

Perhatikan segitiga KMN siku-siku di titik N

Jika $\alpha $ = $\angle $(Bidang PQR, bidang ABCD) maka:

$\tan \alpha =\frac{KN}{MN}=\frac{4p}{2p\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 6

Jika $x_1$ dan $x_2$ memenuhi $|3x-4|=x+5$, maka nilai $x_1+x_2$ ialah …

A. $\frac{13}{4}$   B. $\frac{15}{4}$   C. $\frac{17}{4}$   D. $\frac{19}{4}$   E. $\frac{21}{4}$

Pembahasan:

$|3x-4|=x+5$

${{(3x-4)}^{2}}={{(x+5)}^{2}}$

$9{{x}^{2}}-24x+16={{x}^{2}}+10x+25$

$8{{x}^{2}}-34x-9=0$

${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=\frac{34}{8}=\frac{17}{4}$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 7

Jika 9, $x_1$, dan $x_2$ merupakan tiga akar berbeda dari $x^3-6x^2-ax+b=0$ dengan $b-a=5$, maka $x_1+x_2+x_1.x_2$ = …

A. -7   B. -4   C. -1   D. 1   E. 3

Pembahasan:

$x^3-6x^2-ax+b=0$ akar-akarnya $x_1$, $x_2$, dan ${{x}_{3}}=9$

$x=9$maka:

${{9}^{3}}-{{6.9}^{2}}-9a+b=0$

$b-9a=-243$

$b-a=5$

-------------------- (-)

$-8a=-248\Rightarrow a=31,b=36$

${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-31x+36=0$

${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=-\frac{B}{A}=6$

${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+9=6\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-3$

${{x}_{1}}.{{x}_{2}}.{{x}_{3}}=\frac{-D}{A}=-36$

$9{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-36\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-4$

${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-3+(-4)=-7$

Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 8

Pertidaksamaan ${{(3x)}^{1+{}^{3}\log 3x}} > 81{{x}^{2}}$ memiliki penyelesaian …

A. $x > 3$

B. $x < \frac{1}{9}$

C. $x < \frac{1}{3}$

D. $x < \frac{1}{3}$ atau $x > 9$

E. $x < \frac{1}{9}$ atau $x > 3$

Pembahasan:

(1) Syarat numerus: $3x > 0 \Rightarrow x > 0$

(2) Dari pertidaksamaan:

${{(3x)}^{1+{}^{3}\log 3x}} > 81{{x}^{2}}$

$3x.{{(3x)}^{{}^{3}\log 3x}} > 3x.27x$

${{(3x)}^{{}^{3}\log 3x}} > 27x$

${}^{3}\log {{(3x)}^{{}^{3}\log 3x}} > {}^{3}\log 27x$

${}^{3}\log 3x.{}^{3}\log 3x > {}^{3}\log 9+{}^{3}\log 3x$

${{\left( {}^{3}\log 3x \right)}^{2}}-{}^{3}\log 3x-2 > 0$

$({}^{3}\log 3x+1)({}^{3}\log 3x-2) > 0$

${}^{3}\log 3x < -1$ atau ${}^{3}\log 3x > 2$

$3x < {{3}^{-1}}$ atau $3x > {{3}^{2}}$

$x < {{3}^{-2}}$ atau $x > 3$

$x < \frac{1}{9}$ atau $x > 3$

Himpunan penyelesaian ialah irisan dari hasil (1) dan (2) maka diperoleh:

$0 < x < \frac{1}{9}$ atau $x > 3$

Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 9

Tiga buah bilangan dengan jumlah 42 membentuk barisan geometri. Jika suku di tengah dikalikan dengan $-\frac{5}{3}$ maka akan membentuk barisan aritmetika. Maksimum dari bilangan-bilangan tersebut ialah …

A. 48   B. 50   C. 52   D. 54   E. 56

Pembahasan:

Barisan Geometri:

$a,ar,a{{r}^{2}}$

$a+ar+a{{r}^{2}}=42$

$a+a{{r}^{2}}=42-ar$

Barisan Aritmetika:

$a,-\frac{5}{3}ar,a{{r}^{2}}$

$2.\left( -\frac{5}{3}ar \right)=a+a{{r}^{2}}$

$2.\left( -\frac{5}{3}ar \right)=42-ar$ 

$-10ar=126-3ar$

$-7ar=126$

$ar=-18$

$a=\frac{-18}{r}$

$a+ar+a{{r}^{2}}=42$

$-\frac{18}{r}(1+r+{{r}^{2}})=42$

$-18-18r-18{{r}^{2}}=42r$

$18{{r}^{2}}+60r+18=0$

$3{{r}^{2}}+10r+3=0$

$(3r+1)(r+3)=0$

$r=-\frac{1}{3}$ atau $r=-3$

$a=\frac{-18}{r}$

$r=-\frac{1}{3}\Rightarrow a=54$ maka ketiga bilangan itu: 54, -18, 6

$r=-3\Rightarrow a=6$ maka ketiga bilangan itu: 6, -18, 54

Bilangan terbesar ialah 54.

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 10

Jika b, c $\ne$ 0 dan $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c(x-a)-1}=d$, maka b = …

A. $2{{c}^{2}}d$

B. ${{c}^{2}}d$

C. $\frac{1}{2}{{c}^{2}}d$

D. $-\frac{1}{2}{{c}^{2}}d$

E. $-{{c}^{2}}d$

Pembahasan:

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c(x-a)-1}=d$

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)\tan b(a-x)}{-2{{\sin }^{2}}\frac{1}{2}c(x-a)}=d$

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)}{-2\sin \frac{1}{2}c(x-a)}.\frac{\tan b(a-x)}{\sin \frac{1}{2}c(x-a)}=d$

$\frac{1}{-2.\frac{1}{2}c}.\frac{b.(-1)}{\frac{1}{2}c}=d$

$\frac{-b}{-\frac{1}{2}{{c}^{2}}}=d\Rightarrow b=\frac{1}{2}{{c}^{2}}d$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 11

Diketahui fungsi $f$ dengan $f(1)=2$ dan $f'(1)=1$. Jika $g(x)=\frac{\sqrt{1+x+f(x)}}{{{f}^{2}}(x)}$, dengan ${{f}^{2}}(x)=f(x).f(x)$, maka nilai $g'(1)$ ialah …

A. -2  B. $-\frac{3}{8}$   C. 0  D. $\frac{1}{4}$   E. $\frac{7}{3}$

Pembahasan:

$g(x)=\frac{\sqrt{1+x+f(x)}}{{{f}^{2}}(x)}=\frac{u}{v}$

$g'(x)=\frac{u'.v-v'.u}{{{v}^{2}}}$

$g'(x)=\frac{\frac{1+f'(x)}{2\sqrt{1+x+f(x)}}.{{f}^{2}}(x)-2f'(x)f(x)\sqrt{1+x+f(x)}}{{{[{{f}^{2}}(x)]}^{2}}}$

$g'(1)=\frac{\frac{1+f'(1)}{2\sqrt{1+1+f(1)}}.{{f}^{2}}(1)-2f'(1).f(1)\sqrt{1+1+f(1)}}{{{[{{f}^{2}}(1)]}^{2}}}$

$g'(1)=\frac{\frac{1+1}{2\sqrt{1+1+2}}{{.2}^{2}}-2.1.2\sqrt{1+1+2}}{{{[{{2}^{2}}]}^{2}}}$

$g'(1)=\frac{2-8}{16}=-\frac{3}{8}$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 12

Fungsi $f(x)=x-2\sqrt{x+a}$ memiliki nilai minimum b di titik $x=-4$. Nilai $a+b$ ialah …

A. -2   B. -1   C. 1   D. 2   E. 3

Pembahasan:

$f(x)=x-2\sqrt{x+a}$

$f'(x)=1-2.\frac{1}{2\sqrt{x+a}}$

Nilai minimum di titik $x=-4$, maka:

$f'(-4)=0$

$1-\frac{1}{\sqrt{-4+a}}=0$

$1=\frac{1}{\sqrt{-4+a}}$

$\sqrt{-4+a}=1$

$-4+a=1\Leftrightarrow a=5$

Nilai minimum b di titik $x=-4$, maka:

$f(-4)=b$

$-4-2\sqrt{-4+5}=b\Leftrightarrow b=-6$

$a+b=5+(-6)=-1$

Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 13

Di dalam kotak terdapat tiga buah bola yang masing-masing berwarna merah, biru dan hijau. Jika lima siswa bergiliran mengambil satu bola dan sesudah bola terambil dikembalikan lagi ke kotak, maka banyak kombinasi warna yang mungkin ialah …

A. 10   B. 21   C. 32   D. 56   E. 120

Pembahasan:

Tersedia 3 bola: M = bola merah, B = bola biru, H = bola hijau.

5 anak mengambil 1 bola bergiliran dan dikembalikan.

Kemungkinan-kemungkinan yang terjadi adalah:

• 5 M yaitu: MMMMM ada sebanyak 1.
• 4 M yaitu: MMMMB, MMMMH ada sebanyak 2.
• 3 M yaitu: MMMBB, MMMBH, MMMHH ada sebanyak 3.
• 2 M yaitu: MMBBB, MMBBH, MMBHH, MHHHH ada sebanyak 4.
• 1 M yaitu: MBBBB, MBBBH, MBBHH, MBHHH, MHHHH ada sebanyak 5.
• 0 M yaitu: BBBBB, BBBBH, BBBHH, BBHHH, BHHHH, HHHHH ada sebanyak 6.

Seluruhnya = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 buah.

Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 14

Tiga buah bilangan berbeda yang hasil kalinya 125 membentuk tiga suku berurutan barisan geometri. Ketiga bilangan tersebut masing-masing merupakan suku pertama, suku ketiga, dan suku keenam barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan tersebut ialah …

A. $\frac{75}{6}$   B. $\frac{85}{6}$   C. $\frac{95}{6}$   D. $\frac{105}{6}$   E. $\frac{110}{6}$

Pembahasan:

Barisan Geometri: $a,ar,a{{r}^{2}}$

$a.ar.a{{r}^{2}}=125$

${{(ar)}^{3}}={{5}^{3}}\Leftrightarrow ar=5\Leftrightarrow a=\frac{5}{r}$

Barisan Aritmetika:

${{U}_{1}}=a$,  ${{U}_{3}}=ar$, ${{U}_{6}}=a{{r}^{2}}$

$b=\frac{{{U}_{3}}-{{U}_{1}}}{3-1}\Leftrightarrow b=\frac{ar-a}{2}$ 

${{U}_{6}}=a+5b=a{{r}^{2}}$

${{U}_{3}}=a+2b=ar$

---------------------- (-)

$3b=a{{r}^{2}}-ar$

$b=\frac{a{{r}^{2}}-ar}{3}$

$\frac{ar-a}{2}=\frac{a{{r}^{2}}-ar}{3}$

$\frac{r-1}{2}=\frac{{{r}^{2}}-r}{3}$

$2{{r}^{2}}-2r=3r-3$

$2{{r}^{2}}-5r+3=0$

$(2r-3)(r-1)=0$

$r=\frac{3}{2}$ atau $r=1$ 

Ambil $r=\frac{3}{2}$, maka $a=\frac{5}{r}=\frac{5}{3/2}\Leftrightarrow a=\frac{10}{3}$

Jumlah ketiga bilangan adalah:

$=a+ar+a{{r}^{2}}$

$=\frac{10}{3}+5+\frac{15}{2}=\frac{95}{6}$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 15

Persamaan bulat yang pusatnya terletak pada sumbu X dan melalui titik-titik potong parabola $y=-{{x}^{2}}+6x$ dan garis $2x-y=0$ ialah …

A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-17x=0$

B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-18x=0$

C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-19x=0$

D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-20x=0$

E. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-21x=0$

Pembahasan:

Titik potong $y=-{{x}^{2}}+6x$ dan $2x-y=0$ adalah:

$-{{x}^{2}}+6x=2x$

${{x}^{2}}-4x=0$

$x(x-4)=0$

$x=0$ atau $x=4$

$2x-y=0\Leftrightarrow y=2x$

$x=0\Rightarrow y=0\Leftrightarrow (0,0)$

$x=4\Rightarrow y=8\Leftrightarrow (4,8)$

Lingkaran melalui titik $(0,0)$ dan $(4,8)$dan sentra berada pada sumbu X yaitu $(a,0)$, maka panjang jari-jari bulat ialah jarak titik $(a,0)$ ke titik $(0,0)$ atau jarak titik $(a,0)$ ke titik $(4,8)$ diperoleh:

$a=\sqrt{{{(4-a)}^{2}}+{{(8-0)}^{2}}}$

${{a}^{2}}=16-8a+{{a}^{2}}+64$

$8a=80\Leftrightarrow a=10\Rightarrow r=10$

Persamaan bulat dengan sentra $(10,0)$ dan $r=10$ adalah:

${{(x-10)}^{2}}+{{y}^{2}}={{10}^{2}}$

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-20x=0$

Kunci: D

Tweet