Matematika Ipa Um-Ugm 2014 Instruksi 532 [Soal Dan Pembahasan]

Berikut ini yaitu Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2014 Kode 532. Saya berharap kiranya pembahasan ini kiranya mempunyai kegunaan bagi adik-adik yang berkeingin melanjutkan pendidikan tinggi ke salah satu Perguruan Tinggi Negeri (Perguruan Tinggi Negeri) yang terletak di Daerah spesial Yogyakarta yaitu Universitas Gadjah Mada (UGM). Agar adik-adik sanggup diterima sebagai mahasiswa/i gres di UGM maka perlu mempersiapkan diri dengan melatih diri menjawab soal-soal ujian tulis (UTUL) UGM tahun-tahun sebelumnya. Mari kita berguru dan berdiskusi melalui kolom komentar yang ada.

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 1
Tiga laki-laki dan empat perempuan akan duduk dalam satu baris. Banyak cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan yaitu ...
A. 24   B. 49   C. 144   D. 288   E. 5040
Pembahasan:
L = pria
P = wanita

=4! × 3!
= 24 × 6
= 144
Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 2
Untuk setiap bilangan orisinil $n$ didefinisikan ${{A}_{n}}=\left( \begin{matrix}  n & 2n  \\  3n & 4n  \\  \end{matrix} \right)$. Jika $det(A_1+A_2+...+A_k)$ = -4050, maka $det(A_{2k})$ = ...
A. -800   B. -648   C. -512   D. -392   E. -288
Pembahasan:
${{A}_{1}}+{{A}_{2}}+{{A}_{3}}+...+{{A}_{k}}$ = $\left( \begin{matrix}  1+2+...+k & 2(1+2+...+k)  \\  3(1+2+...+k) & 4(1+2+...+k)  \\  \end{matrix} \right)$
$\det \left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}}+{{A}_{3}}+...+{{A}_{k}} \right)$ = $\left( \begin{matrix}
   1+2+...+k & 2(1+2+...+k)  \\  3(1+2+...+k) & 4(1+2+...+k)  \\  \end{matrix} \right)$
$-4050$ = $4{{(1+2+...+k)}^{2}}-6{{(1+2+...+k)}^{2}}$
$-4050$ = $-2{{(1+2+...+k)}^{2}}$
$2025$ = ${{\left( 1+2+...+k \right)}^{2}}$
$2025$ = ${{\left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]}^{2}}$
$45$ = $\frac{k(k+1)}{2}$
$90=k(k+1)\Rightarrow k=9$
$\det {{A}_{2k}}=-2{{(-2k)}^{2}}$
$\det {{A}_{2k}}=-8{{k}^{2}}=-8.81=-648$
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 3
Diketahui persamaan $x^2+px+q=0$ mempunyai akar-akar aktual $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1$, 6, $x_2$ yaitu tiga suku pertama barisan geometri dan $x_1$, $x_2$, 14 tiga suku pertama barisan aritmetika, maka $p+q$ = ...
A. 23   B. 24   C. 25   D. 26   E. 27
Pembahasan:
$x^2+px+q=0$, $x_1+x_2=-p$, $x_1.x_2=q$
Barisan Geometri: $x_1$, 6, $x_2$, maka:
$36={{x}_{1}}.{{x}_{2}}\Leftrightarrow 36=q$
$\frac{36}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}$
Barisan Aritmetika: $x_1$, $x_2$, 14, maka:
$2{{x}_{2}}={{x}_{1}}+14$
$2{{x}_{2}}=\frac{36}{{{x}_{2}}}+14$, kali dengan ${{x}_{2}}$
$2x_{2}^{2}-14x-36=0$
$x_{2}^{2}-7x-18=0$
$({{x}_{2}}-9)({{x}_{2}}+2)=0$
${{x}_{2}}=9$
$\frac{36}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}\Leftrightarrow \frac{36}{9}={{x}_{1}}=4$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-p\Leftrightarrow 9+4=-p\Leftrightarrow -13=p$
$p+q=-13+36=23$
Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 4
Jika $f(x)=(\sin x + \cos x)(\cos 2x + \sin 2x)$ dan $f'(x)=2\cos 3x + g(x)$ maka $g(x)$ = ...
A. $\cos 3x + \sin x$
B. $\cos 3x - \sin x$
C. $\cos x + \sin x$
D. $\cos x - \sin x$
E. $-\cos x + \sin x$
Pembahasan:
$f(x)=(\sin x + \cos x)(\cos 2x + \sin 2x)$
$=\sin x\cos 2x+\sin x\sin 2x$
$+\cos x\cos 2x+\cos x\sin 2x$
$=\sin x\cos 2x+\cos x\sin 2x$
$\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x$
$f(x)=\sin 3x+\cos x$
$f'(x)=3\cos 3x-\sin x$; $f'(x)=2\cos 3x + g(x)$
$2co3x+g(x)=3\cos 3x-\sin x$
$g(x)=\cos 3x-\sin x$
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 5

Diketahui $D_1$ yaitu tempat di kuadran I yang dibatasi oleh parabola $y=\frac{9}{4}x^2$, parabola $y=x^2$, dan garis $x=2$, dan ${{D}_{2}}$ tempat yang dibatasi oleh garis $x=2$, garis $y=9$, parabola $y={{x}^{2}}$. Jika luas $D_1=a$, maka luas $D_2$ yaitu ...

A. $\frac{7}{10}a$   B. $\frac{8}{10}a$   C. $\frac{9}{10}a$   D. $\frac{11}{10}a$   E. $\frac{13}{10}a$

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut ini!

$L.{{D}_{1}}=\frac{1}{3}.alas.({{t}_{2}}-{{t}_{1}})$

$L.{{D}_{1}}=\frac{1}{3}.2.(9-4)$

$L.{{D}_{1}}=\frac{10}{3}=a$

$L.{{D}_{2}}=\int\limits_{2}^{3}{(9-{{x}^{2}})dx}$

$L.{{D}_{2}}=\left. 9x-\frac{1}{3}{{x}^{3}} \right]_{2}^{3}=\frac{8}{3}$

$\frac{L.{{D}_{2}}}{L.{{D}_{1}}}=\frac{L.{{D}_{2}}}{a}$

$\frac{\frac{8}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{L.{{D}_{2}}}{a}$

$\frac{8}{10}a=L.{{D}_{2}}$

Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 6

Diketahui matriks A berukuran 3 x 3 dan memenuhi:

$A\left( \begin{matrix}  1  \\  2  \\  1  \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  2  \\  2  \\  2  \\  \end{matrix} \right)$  dan $A\left( \begin{matrix}  1  \\  2  \\  3  \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  2  \\  4  \\  2  \\  \end{matrix} \right)$. Jika $x=\left( \begin{matrix}  2  \\  4  \\  10  \\ \end{matrix} \right)$ maka $Ax$ = …

A. $\left( \begin{matrix}  8  \\  4  \\  8  \\  \end{matrix} \right)$   B. $\left( \begin{matrix}  4  \\  12  \\  4  \\  \end{matrix} \right)$   C. $\left( \begin{matrix}  12  \\  8  \\  12  \\  \end{matrix} \right)$   D. $\left( \begin{matrix}  4  \\  8  \\  4  \\  \end{matrix} \right)$   E. $\left( \begin{matrix}  8  \\  12  \\  8  \\  \end{matrix} \right)$

Pembahasan:

Misalkan matriks $A=\left( \begin{matrix}  a & b & c  \\  d & e & f  \\  g & h & i  \\  \end{matrix} \right)$, maka:

$\left( \begin{matrix}  a & b & c  \\  d & e & f  \\  g & h & i  \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  1  \\  2  \\  1  \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  2  \\  2  \\  2  \\  \end{matrix} \right)$ 

$a+2b+c=2$ … persamaan (1)

$d+2e+f=2$ …persamaan (2)

$g+2h+i=2$ … persamaan (3)

$\left( \begin{matrix}  a & b & c  \\  d & e & f  \\  g & h & i  \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  1  \\  2  \\  3  \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  2  \\  4  \\  2  \\  \end{matrix} \right)$

$a+2b+3c=2$ … persamaan (4)

$d+2e+3f=4$… persamaan (5)

$g+2h+3i=2$ … persamaan (6)

Dari (1) dan (4) diperoleh: c = 0, dan $a+2b=2$ 

Dari (2) dan (5) diperoleh: f = 1, dan $d+2e=1$ 

Dari (3) dan (6) diperoleh: I = 0, dan $g+2h=2$ 

$Ax=\left( \begin{matrix}  a & b & 0  \\  d & e & 1  \\  g & h & 0  \\  \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  2  \\  4  \\  10  \\  \end{matrix} \right)$

$=\left( \begin{matrix}  2a+4b  \\  2d+4e+10  \\  2g+4h  \\  \end{matrix} \right)$

$=\left( \begin{matrix}  2(a+2b)  \\  2(d+2e)+10  \\  2(g+2h)  \\  \end{matrix} \right)$

$=\left( \begin{matrix}  2.2  \\  2.1+10  \\  2.2  \\  \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  4  \\  12  \\  4  \\  \end{matrix} \right)$

Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 7

Diberikan segitiga ABC dengan $\angle A=\alpha $, $\angle B={{90}^{o}}$, dan $\angle C=\gamma $. Jika $\cos \alpha = x$, maka $\cos (\alpha +2\gamma )$ = …

A. $-x$   B. $-\sqrt{1-{{x}^{2}}}$   C. $x$   D. $\sqrt{1-{{x}^{2}}}$   E. 1

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

$\alpha +\gamma ={{90}^{o}}$

$\cos (\alpha +2\gamma )=\cos (\alpha +\gamma +\gamma )$

$=\cos ({{90}^{o}}+\gamma )$

$=-\sin \gamma $

$=-x$

Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 8

Jika garis $y=mx+k$ menyinggung bulat ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x+6y+24=0$ di titik $(8,-4)$ maka nilai $(m+k)$ yaitu …

A. -26   B. -25   C. -24   D. -23   E. -22

Pembahasan:

Persamaan garis singgung ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x+6y+24=0$ di titik $(8,-4)$ adalah:

${{x}_{1}}.x+{{y}_{1}}.y-\frac{10}{2}(x+{{x}_{1}})+\frac{6}{2}(y+{{y}_{1}})+24=0$

$8x-4y-5(x+8)+3(y-4)+24=0$

$3x-y-28=0$

$y=3x-28$

$y=mx+k$

$m=3,k=-28\Rightarrow m+k=-25$

Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 9

Sebuah prisma ABCD.EFGH mempunyai ganjal berbentuk persegi. Titik T yaitu titik tengah diagonal HF. Jika $\angle EAT=\frac{\pi }{6}$ dan volume prisma tersebut $4\sqrt{6}$, maka tinggi prisma yaitu …

A. $\sqrt{6}$   B. $\sqrt{3}$   C. $\sqrt{2}$   D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$   E. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pembahasan:

Perhatikan segitiga AET siku-siku di E, maka:

$\tan A=\frac{ET}{EA}$ 

$\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\frac{1}{2}a\sqrt{2}}{b}$

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{1}{2}a\sqrt{2}}{b}$

$b=\frac{a}{2}\sqrt{6}$

Volume prisma = $4\sqrt{6}$

$V={{a}^{2}}b$

$4\sqrt{6}={{a}^{2}}.\frac{a}{2}\sqrt{6}$

$8={{a}^{3}}\Leftrightarrow a=2$

Tinggi prisma = $b=\frac{a}{2}\sqrt{6}=\sqrt{6}$

Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 10

Diketahui vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut sebesar $\theta $. Jika panjang proyeksi vektor $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ sama dengan $2\sin \theta $ dan panjang vektor $\vec{b}$ yaitu 1, maka $\tan 2\theta $ = …

A. $\frac{1}{3}$   B. $\frac{2}{3}$   C. 1   D. $\frac{4}{3}$   E. $\frac{5}{3}$

Pembahasan:

$\angle (\vec{a},\vec{b})=\theta $, $|\vec{b}|=1$

$\frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|}=2\sin \theta $ 

$\frac{|\vec{b}|.|\vec{a}|.cos\theta }{|\vec{a}|}=2\sin \theta $

$\cos \theta =2\sin \theta $

$\tan \theta =\frac{1}{2}$

$\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{{\tan }^{2}}\theta }$

$\tan 2\theta =\frac{2.\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 11

Semua nilai $a$ semoga $\sqrt{2{{x}^{2}}-x+14}\ge \sqrt{{{x}^{2}}-ax+10}$ benar untuk semua bilangan real $x$ yaitu …

A. $|a|\le 6$

B. $a\le -3$ atau $a\ge 5$

C. $a\le -5$ atau $a\ge 3$

D. $-3\le a\le 5$

E. $-6\le a\le -5$ atau $3\le a\le 6$

Pembahasan:

(*)

$\sqrt{2{{x}^{2}}-x+14}\ge \sqrt{{{x}^{2}}-ax+10}$

$2{{x}^{2}}-x+14\ge {{x}^{2}}-ax+10$

${{x}^{2}}+(a-1)x+4\ge 0$, definit positif, maka:

$D\le 0$

${{B}^{2}}-4AC\le 0$

${{(a-1)}^{2}}-4.1.4\le 0$

${{a}^{2}}-2a-15\le 0$

$(a+3)(a-5)\le 0$

$-3\le a\le 5$

(**) syarat: 

$2{{x}^{2}}-x+14\ge 0$

${{x}^{2}}-ax+10\ge 0$

$D\le 0$

${{B}^{2}}-4AC\le 0$

${{a}^{2}}-4.1.10\le 0$

$(a+\sqrt{40})(a-\sqrt{40})\le 0$

$-\sqrt{40}\le a\le \sqrt{40}$

Dari (*) dan (**) diperoleh penyelesaian $-3\le a\le 5$

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 12

Jika $P(x)={{x}^{5}}+a{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+bx+2$ dibagi $h(x)={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x-2$ menawarkan sisa $r(x)={{x}^{2}}-3x+4$ maka $a+b$ = …

A. -2   B. -1   C. 1   D. 2   E. 3

Pembahasan:

Yang dibagi = pembagi x hasil + Sisa

$P(x)=h(x).hasil+r(x)$

${{x}^{5}}+a{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+bx+2$$=({{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x-2).hasil+{{x}^{2}}-3x+4$

${{x}^{5}}+a{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+bx+2$$=(x-1)(x+1)(x-2).hasil+{{x}^{2}}-3x+4$

x=1, maka:

$1+a+1+b+2=1-3+4$

$a+b=2$

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 13

Jika $a$ memenuhi persamaan ${}^{2}\log 2x+{}^{3}\log 3x={}^{4}\log 4{{x}^{2}}$, maka ${}^{a}\log 3$ = …

A. -3   B. -2   C. -1   D. 1   E. 2

Pembahasan:

${}^{2}\log 2+{}^{2}\log x+{}^{3}\log 3+{}^{3}\log x$$={}^{4}\log 4+{}^{4}\log {{x}^{2}}$

$1+{}^{2}\log x+1+{}^{3}\log x=1+{}^{{{2}^{2}}}\log {{x}^{2}}$

$1+{}^{2}\log x+1+{}^{3}\log x=1+{}^{{{2}^{2}}}\log {{x}^{2}}$

${}^{3}\log x=-1$

$x={{3}^{-1}}=a$

${}^{a}\log 3={}^{{{3}^{-1}}}\log 3=-1$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 14

Diketahui $f(x)=\sqrt{1+x}$. Nilai $\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(3+2{{h}^{2}})-f(3-3{{h}^{2}})}{{{h}^{2}}}$ yaitu …

A. 0   B. $\frac{2}{3}$   C. $\frac{6}{7}$   D. $\frac{9}{8}$   E. $\frac{5}{4}$

Pembahasan:

$\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(3+2{{h}^{2}})-f(3-3{{h}^{2}})}{{{h}^{2}}}$

$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+3+2{{h}^{2}}}-\sqrt{1+3-3{{h}^{2}}}}{{{h}^{2}}}$

$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{4+2{{h}^{2}}}-\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}{{{h}^{2}}}\times \frac{\sqrt{4+2{{h}^{2}}}+\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}{\sqrt{4+2{{h}^{2}}}+\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}$

$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4+2{{h}^{2}}-(4-3{{h}^{2}})}{{{h}^{2}}\sqrt{4+2{{h}^{2}}}+\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}$

$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5{{h}^{2}}}{{{h}^{2}}\sqrt{4+2{{h}^{2}}}+\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}$

$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5}{\sqrt{4+2{{h}^{2}}}+\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}$

$=\frac{5}{\sqrt{4+{{2.0}^{2}}}+\sqrt{4-{{3.0}^{2}}}}$

$=\frac{5}{4}$

Kunci: E

Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 15

Diketahui jumlah empat suku pertama suatu barisan aritmetika sama dengan jumlah tiga suku selanjutnya. Jika jumlah 10 suku pertama yaitu 270, maka suku pertama barisan tersebut yaitu …

A. 2  B. 3   C. 6   D. 9   E. 18

Pembahasan:

Barisan Arimetika:

${{S}_{4}}={{U}_{5}}+{{U}_{6}}+{{U}_{7}}$

$\frac{4}{2}(2a+3b)=a+4b+a+5b+a+6b$

$4a+6b=3a+15b$

$a=9b$

${{S}_{10}}=270$

$\frac{10}{2}(2a+9b)=270$

$2a+9b=54$

$2.9b+9b=54$

$27b=54$

$b=2$

$a=9b\Leftrightarrow a=9.2=18$

Kunci: E

Tweet