Pembahasan Matematika Ipa Um-Ugm 2013 Isyarat 261

Berikut ini yaitu Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261. Pembahasan ini saya buat untuk membantu adik-adik yang akan mengikuti seleksi tertulis ini diselenggarakan oleh Universitas Gadjah Mada (UGM) untuk menyeleksi mahasiswa gres yang akan masuk UGM pada tahun anutan 2018-2019. Oh iya, adik-adik perlu mengetahui bahwa kalian yang alumni Sekolah Menengan Atas 2018, 2017, dan 2016 diperbolehkan lho mengikuti seleksi tertulis ini. Dan jangan lupa ya..., registrasi terakhir tanggal 25 Juni 2018, dan tes tertulis dilaksanakan pada tanggal 08 Juli 2018. Dengan melihat rentang waktu yang ada, berarti kalian masih mempunyai cukup waktu untuk belajar. Yuk... kita pelajari bersama Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 berikut ini:

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 1
Titik sentra bulat yang menyinggung garis $y=2$ di $(3,2)$ dan menyinggung garis $y=-x\sqrt3+2$ yaitu ...
A. $(3,\sqrt3)$
B. $(3,3\sqrt3)$
C. $(3,2+\sqrt3)$
D. $(3,2+2\sqrt3)$
E. $(3,2+3\sqrt3)$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini.

PR yaitu jarak titik P(3,b) terhadap garis $y=-x\sqrt{3}+2$, maka:

$=\left| \frac{{{x}_{1}}.\sqrt{3}+{{y}_{1}}-2}{\sqrt{{{(\sqrt{3})}^{2}}+{{1}^{2}}}} \right|$

$=\left| \frac{3.\sqrt{3}+b-2}{2} \right|$

PQ yaitu jarak titik $P(3,b)$ ke titik $Q(3,2)$, maka:

$PQ=b-2$

$PQ=PR=r$

$\begin{align}b-2&=\frac{3\sqrt{3}+b-2}{2} \\ 2b-4&=3\sqrt{3}+b-2 \\ b&=2+3\sqrt{3} \end{align}$

Jadi, titik sentra bulat yaitu P$(3,2+3\sqrt3)$.

Kunci: E

Matematika IPA UM –UGM 2013 Kode 261 No. 2

Diberikan koordinat titik $O(0,0)$, $B(-3,\sqrt7)$, dan $A(a,0)$, dengan $a < 0$. Jika pada segitiga AOB, $\angle OAB=\alpha $ dan $\angle OBA=\beta $, maka $\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )$ = …

A. $\frac{1}{4}$    B. $\frac{1}{4}\sqrt{2}$    C. $\frac{1}{4}\sqrt{6}$    D. $\frac{1}{4}\sqrt{7}$    E. $\frac{1}{4}\sqrt{14}$

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

Perhatikan segitiga OCB siku-siku di C, berlaku phytagoras

$BC=\sqrt{7}$, $OC=3$, maka:

$OB=\sqrt{B{{C}^{2}}+O{{C}^{2}}}$ 

$OB=\sqrt{{{(-3)}^{2}}+{{(\sqrt{7})}^{2}}}$

$OB=4$

$\cos (\alpha +\beta )=\frac{OC}{OB}=\frac{3}{4}$ 

Ingat: $2{{\cos }^{2}}x=1+\cos 2x$, maka:

$2{{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=1+\cos (\alpha +\beta )$

$2{{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=1+\frac{3}{4}$

$2{{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=\frac{7}{4}$

${{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=\frac{7}{8}$

$\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )=\sqrt{\frac{7}{8}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{14}$

Kunci: E

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 3

Diketahui vektor-vektor $\vec{u}=(a,1,-a)$ dan $\vec{v}=(1,a,a)$. Jika ${{\vec{u}}_{1}}$ vektor proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$, ${{\vec{v}}_{1}}$ vektor proyeksi $\vec{v}$ pada $\vec{u}$, dan $\theta $ sudut antara $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ dengan $\cos \theta =\frac{1}{3}$, maka luas jajaran genjang yang dibuat oleh ${{\vec{u}}_{1}}$ dan ${{\vec{v}}_{1}}$ yaitu ….

A. $\frac{2}{9}\sqrt{2}$    B. $\frac{2}{9}\sqrt{6}$    C. $\frac{2}{3}\sqrt{2}$    D. $\frac{2}{3}\sqrt{6}$    E. 2

Pembahasan:

$\cos \theta =\frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$

$\frac{1}{3}=\frac{\left( \begin{matrix} a  \\ 1  \\ -a  \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1  \\ a  \\  a  \\  \end{matrix} \right)}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{1}^{2}}+{{(-a)}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}$

$\frac{1}{3}=\frac{2a-{{a}^{2}}}{\sqrt{2{{a}^{2}}+1}.\sqrt{2{{a}^{2}}+1}}$

$\frac{1}{3}=\frac{2a-{{a}^{2}}}{2{{a}^{2}}+1}$

$2{{a}^{2}}+1=6a-3{{a}^{2}}$

$5{{a}^{2}}-6a+1=0$

$(5a-1)(a-1)=0$, 

${{a}_{1}}=\frac{1}{5}$ atau ${{a}_{2}}=1$

Karena soal pilihan berganda, kita uji yang paling sederhana yaitu ${{a}_{2}}=1$.

$\vec{u}=(1,1,-1)$ dan $\vec{v}=(1,1,1)$ maka $u.v=\left( \begin{matrix}  1  \\  1  \\  -1  \\  \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix}  1  \\  1  \\  1  \\  \end{matrix} \right)=1$ 

$|\vec{u}|=|\vec{v}|=\sqrt{2{{a}^{2}}+1}=\sqrt{3}$

$|{{\vec{u}}_{1}}|=\left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right|=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$ 

$|{{\vec{v}}_{1}}|=\left| \frac{\vec{v}.\vec{u}}{|\vec{u}|} \right|=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

Jika $\cos \theta =\frac{1}{3}\Rightarrow \sin \theta =\frac{2}{3}\sqrt{2}$ 

Luas jajaran genjang:

$=2.\frac{1}{2}.|{{u}_{1}}|.|{{v}_{1}}|.\sin \theta $

$=2.\frac{1}{2}.\frac{1}{3}\sqrt{3}.\frac{1}{3}\sqrt{3}.\frac{2}{3}\sqrt{2}$

$=\frac{2}{9}\sqrt{2}$

Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 4

Panjang rusuk kubus PQRS.TUVW yaitu 6 cm. Titik X, pada TW, Y pada UV dan Z pada QR. Jika $|TX|:|XW|=1:2$, $|UY|:|YV|=2:1$, dan $PXYZ$ membentuk bidang datar, maka volume bangkit $TUYX.PQZ$ yaitu … $c{{m}^{3}}$

A. 108    B. 80    C. 72    D. 60    E. 36 

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut ini!

${{V}_{Kubus}}={{6}^{3}}=216$ 

Jika kita perhatikan gambar! Maka bidang PXYZ membagi volume bangkit ruang PQLK.TUMN, maka:

${{V}_{TUYX.PQZ}}=\frac{1}{2}.{{V}_{PQLK.TUMN}}$ 

${{V}_{TUYX.PQZ}}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.{{V}_{Kubus}}$

${{V}_{TUYX.PQZ}}=\frac{1}{3}.216=72$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 5

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan bantalan berbentuk persegi dan tinggi limas $2\sqrt{3}$ cm. Jika T’ proyeksi T pada bidang bantalan dan titik P yaitu perpotongan garis berat segitiga TBC, maka panjang sisi bantalan limas supaya T’P tegak lurus segitiga TBC yaitu … cm.

A. 2    B. $\sqrt{6}$    C. $\sqrt{8}$    D. 3    E. 4

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut ini!

$TT'=2\sqrt{3}$

Perhatikan segitiga $TT'Q$, maka:

$TQ=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(2\sqrt{3})}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+12}$

$T'P.TQ=TT'.T'Q$

$T'P=\frac{TT'.T'Q}{TQ}$

$T'P=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+12}}$

Karena P yaitu titik berat segitiga TBC, maka:

$PQ=\frac{1}{3}TQ\Leftrightarrow PQ=\frac{1}{3}\sqrt{{{a}^{2}}+12}$

Perhatikan segitiga T’PQ.

$T'{{Q}^{2}}=T'{{P}^{2}}+P{{Q}^{2}}$ 

${{a}^{2}}={{\left( \frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+12}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{3}\sqrt{{{a}^{2}}+12} \right)}^{2}}$

${{a}^{2}}=\frac{12{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+12}+\frac{{{a}^{2}}+12}{9}$

$9{{a}^{2}}({{a}^{2}}+12)=108{{a}^{2}}+{{({{a}^{2}}+12)}^{2}}$

$9{{a}^{4}}+108{{a}^{2}}=108{{a}^{2}}+{{a}^{4}}+24{{a}^{2}}+144$

$8{{a}^{4}}-24{{a}^{2}}-144=0$

${{a}^{4}}-3{{a}^{2}}-18=0$

$({{a}^{2}}+3)({{a}^{2}}-6)=0$

$({{a}^{2}}+3)(a+\sqrt{6})(a-\sqrt{6})=0$

$a=\sqrt{6}$

Jadi, sisi bantalan limas $=2a=2\sqrt{6}$ 

Kunci: Tidak Ada Opsi 

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 6

Garis $g$ merupakan garis singgung kurva $y=2{{x}^{2}}-x-1$ dengan gradien $m$. Jika garis $g$ membentuk sudut ${{45}^{o}}$ terhadap garis $2x-y+4=0$, dan $0 < m < 2$, maka persamaan $g$ yaitu …

A. $3x+9y+11=0$

B. $3x+9y-11=0$

C. $-3x+9y+11=0$

D. $-3x+9y-11=0$

E. $3x-9y-11=0$

Pembahasan:

Kurva $y=2{{x}^{2}}-x-1$ maka ${{m}_{g}}=y'=4x-1$

Misal garis k: $2x-y+4=0$, ${{m}_{k}}=2$,  $\angle ({{m}_{g}},{{m}_{k}})={{45}^{o}}$, maka:

$tg{{45}^{o}}=\left| \frac{{{m}_{g}}-{{m}_{k}}}{1+{{m}_{g}}.{{m}_{k}}} \right|$

$1=\left| \frac{{{m}_{g}}-2}{1+{{m}_{g}}.2} \right|$, diketahui pada soal $0 < m_g < 2$, maka:

$1+2{{m}_{g}}=-{{m}_{g}}+2$

$3{{m}_{g}}=1$

${{m}_{g}}=\frac{1}{3}$

$4x-1=\frac{1}{3}$

$12x-3=1\Leftrightarrow {{x}_{1}}=\frac{1}{3}$

$y=2{{x}^{2}}-x-1$

${{y}_{1}}=2{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}-\frac{1}{3}-1=\frac{-10}{9}$

Garis g melalui titik $\left( \frac{1}{3},\frac{-10}{9} \right)$ dan $m=\frac{1}{3}$ adalah:

$y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$

$y+\frac{10}{9}=\frac{1}{3}(x-\frac{1}{3})$

$3x-9y-11=0$ atau $-3x+9y+11=0$

Kunci: C/E

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 7

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{{{625}^{x-2}}}>\sqrt{{{125}^{x}}}.\sqrt[3]{{{25}^{6x}}}$ yaitu …

A. $x > -\frac{8}{3}$    B. $x < -\frac{8}{3}$    C. $x < -\frac{8}{7}$    D. $x > -\frac{8}{7}$    E. $x < -\frac{12}{5}$

Pembahasan:

$\sqrt{{{625}^{x-2}}} > \sqrt{{{125}^{x}}}.\sqrt[3]{{{25}^{6x}}}$

${{\left( {{5}^{4}} \right)}^{\frac{x-2}{2}}} > {{\left( {{5}^{3}} \right)}^{\frac{x}{2}}}.{{\left( {{5}^{2}} \right)}^{\frac{6x}{3}}}$

${{5}^{2x-4}} > {{5}^{\frac{3x}{2}+4x}}$

$2x-4 > \frac{3x}{2}+4x$

$4x-8 > 3x+8x$

$x < -\frac{8}{7}$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 8

Himpunan semua $x$ yang memenuhi $|x-2|-1\ge x$ yaitu …

A. $\{x|0\le x\le \frac{7}{2}\}$

B. $\{x|x\ge 0\}$

C. $\{x|x\le \frac{1}{2}\}$

D. $\{x|0\le x\le \frac{5}{2}\}$

E. $\{x|-1\le x\le \frac{1}{2}\}$

Pembahasan:

$|x-2|-1\ge x$

$|x-2|\ge x+1$

Untuk $x\ge 2$ maka:

$|x-2|-1\ge x$

$x-2\ge x+1\Leftrightarrow -2\ge 1$

$-2\ge 1$, tidak ada penyelesaian.

Untuk $x < 2$ maka:

$|x-2|-1\ge x$

$-(x-2)\ge x+1$

$-2x\ge -1$

$x\le \frac{1}{2}$

Kunci: C

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 9
Suku banyak P(x) dibagi ${{x}^{2}}-x-2$ mempunyai hasil bagi Q(x) dan sisa $x+2$. Jika $Q(x)$ dibagi $x+2$ mempunyai sisa 3, maka sisa P(x) dibagi ${{x}^{2}}+3x+2$ yaitu ….
A. $-11x-10$
B. $-10x-11$
C. $11x-10$
D. $10x+11$
E. $11x+10$
Pembahasan:
Yang dibagi = pembagi x hasil + sisa
$Q(x)=(x+2).Hasil+3$
$Q(-2)=(-2+2).Hasil+3=3$
$P(x)=({{x}^{2}}-x-2).Q(x)+x+2$
$P(x)=(x-2)(x+1).Q(x)+x+2$
Untuk x = -2, maka:
$P(-2)=(-2-2)(-2+1).Q(-2)+(-2)+2$
$P(-2)=-4.(-1).3-2+2=12$
Untuk x = -1, maka:
$P(-1)=(-1-2)(-1+1).Q(-1)+(-1)+2$
$P(-1)=1$
Pertanyaan:
$P(x)=({{x}^{2}}+3x+2).Hasil+ax+b$
$P(x)=(x+2)(x+1).Hasil+ax+b$
$P(-2)=-2a+b=12$
$P(-1)=-a+b=1$
---------------------------- (-)
$-a=11\Leftrightarrow a=-11,b=-10$
Jadi, sisa $ax+b=-11x-10$
Kunci: A

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 10

Jumlah $n$ suku pertama suatu deret aritmetika dinotasikan dengan ${{S}_{n}}$. Jika suku pertama deret tersebut tak nol dan ${{S}_{4}}$, ${{S}_{8}}$ dan ${{S}_{16}}$ membentuk barisan geometri maka $\frac{{{S}_{8}}}{{{S}_{4}}}$ = …

A. 2    B. 4    C. 6    D. 8    E. 10

Pembahasan:

Barisan aritmetika: ${{S}_{4}}=2(2a+3b)$, ${{S}_{8}}=4(2a+7b)$, $8(2a+15b)$

Barisan geometri: ${{S}_{4}}$, ${{S}_{8}}$ dan ${{S}_{16}}$

${{({{S}_{8}})}^{2}}={{S}_{4}}.{{S}_{6}}$

${{[4(2a+7b)]}^{2}}=[2(2a+3b)][8(2a+15b)]$

$16(4{{a}^{2}}+28ab+49{{b}^{2}})=16(4{{a}^{2}}+36ab+45{{b}^{2}})$

$4{{a}^{2}}+28ab+49{{b}^{2}}=4{{a}^{2}}+36ab+45{{b}^{2}}$

$4{{b}^{2}}-8ab=0$

$4b(b-2a)=0$ maka $b=0$ atau $b=2a$

$b=0$ maka $\frac{{{S}_{8}}}{{{S}_{4}}}=\frac{4(2a+7.0)}{2(2a+3.0)}=\frac{8a}{4a}=2$

$b=2a$ maka $\frac{{{S}_{8}}}{{{S}_{4}}}=\frac{4(2a+7.2a)}{2(2a+3.2a)}=\frac{64a}{16a}=4$

Kunci: A dan B

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 11

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-{{\cos }^{3}}x}{x\tan x}$ = …

A. 0    B. $\frac{1}{2}$    C. $\frac{3}{4}$    D. $\frac{3}{2}$    E. 3

Pembahasan:

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-{{\cos }^{3}}x}{x\tan x}$

$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{(1-\cos x)(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)}{x\tan x}$

$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{\sin }^{2}}\frac{1}{2}x.(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)}{x\tan x}$

$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\sin \frac{1}{2}x.\sin \frac{1}{2}x}{x\tan x}(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)$

$=2.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.(1+1+1)$

$=\frac{3}{2}$

Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 12
Jika kurva $f(x)=a{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}+1$ mempunyai titik ekstrim $(1,-5)$ maka kurva tersebut naik pada …
A. {$x|x\le 0$ atau $x\ge 2$}
B. {$x|x\le 0$ atau $x\ge 1$}
C. {$x|x\le -2$ atau $x\ge 0$}
D. {$x|x\le -\frac{1}{2}$ atau $x\ge 0$}
E. {$x|x\le -2$ atau $x\ge 1$}
Pembahasan:
$f(x)=a{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}+1$
$f(1)=a-b+1=-5$
$a-b=-6$
$a=b-6$
Titik ekstrim di $(1,-5)$, maka $f'(1)=0$
$f'(x)=3a{{x}^{2}}-2bx$
$f'(1)=3a-2b=0$
$3a-2b=0$
$3(b-6)-2b=0$
$b=18$
$a=b-6\Leftrightarrow a=18-6=12$
Kurva naik untuk $f'(1)\ge 0$
$3a{{x}^{2}}-2bx\ge 0$
$3.12{{x}^{2}}-2.18x\ge 0$
$36{{x}^{2}}-36x\ge 0$
$36x(x-1)\ge 0$
$x=0$ atau $x=1$
HP = {$x|x\le 0$ atau $x\ge 1$}
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 13
Dari 15 anak terdiri atas pria dan wanita akan diambil 2 anak secara bersamaan. Jika banyak kemungkinan terambil pria dan wanita yaitu 26, maka selisih jumlah pria dan wanita yaitu …
A. 13    B. 11    C. 9    D. 5    E. 3
Pembahasan:
Misal:
p = jumlah anak laki-laki
w = jumlah anak perempuan
p + w = 15, w = 15 – p
$C_{1}^{p}.C_{1}^{w}=26$
$p.w=26$
$p(15-p)=26$
$15p-{{p}^{2}}=26$
${{p}^{2}}-15p+26=0$
$(p-13)(p-2)=0$
$p=13$ atau $p=2$
$w=15-p$
$p=13\Rightarrow w=2\Rightarrow p-w=11$
$p=2\Rightarrow w=13\Rightarrow w-p=11$
Kunci: B

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 14
Diketahui polinomial $f(x)$ habis dibagi $x-1$. Jika $f'(x)$ dibagi $x-1$ bersisa ${{a}^{2}}$ dan $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}=2a-1$ maka $a$ = …
A. -2    B. -1    C. 0    D. 1    E. 2
Pembahasan:
$f(x)$ habis dibagi $x-1$ maka $f(1)=0$
$f'(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $f'(1)={{a}^{2}}$
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}=2a-1$
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f'(x)}{1}=2a-1$
$f'(1)=2a-1$
${{a}^{2}}=2a-1$
${{a}^{2}}-2a+1=0$
$(a-1)(a-1)=0$
$a=1$
Kunci: D

Matematika IPA UM-UGM 2013 Kode 261 No. 15
Jika sudut lancip $x$ memenuhi 1 = ${}^{2}\log 16$ +  ${}^{2}\log (\sin x)$ + ${}^{2}\log (\cos x)$ + ${}^{2}\log (\cos 2x)$ maka $x$ = …
A. $\frac{\pi }{2}$    B. $\frac{\pi }{4}$    C. $\frac{\pi }{6}$    D. $\frac{\pi }{24}$    E. $\frac{\pi }{36}$
Pembahasan:
1 = ${}^{2}\log 16$ +  ${}^{2}\log (\sin x)$ + ${}^{2}\log (\cos x)$ + ${}^{2}\log (\cos 2x)$
$1={}^{2}\log 16.\sin x.\cos x.\cos 2x$
$2=16.\sin x.\cos x.\cos 2x$
$2=8.2\sin x.\cos x.\cos 2x$
$2=8\sin 2x.\cos 2x$
$2=4.2\sin 2x.\cos 2x$
$2=4\sin 4x$
$\sin 4x=\frac{1}{2}$
$\sin 4x=\sin \frac{\pi }{6}\Leftrightarrow 4x=\frac{\pi }{6}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{24}$
Kunci: D

Tweet