Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (Cs Engel)

Pada kesempatan kali ini kita akan membahas sebuah ketaksamaan yang sangat penting dalam matematika, yaitu ketaksamaan Chaucy Schwarz (Cauchy-Schwarz Inequality). Bagi kalian yang akan berkompetisi dalam olimpiade matematika Ketaksamaan Chaucy Schwarz bersama dengan $AM-GM$ merupakan "senjata" yang wajib kalian kuasai, jadi baca dan pelajari goresan pena ini hingga final ☺

Teorema Chaucy Schwarz:

Misalkan $a_1, a_2, ..., a_n$ dan $b_1, b_2, ... , b_n$ yakni bilangan-bilangan real, maka berlaku:

$$(a_1^{2}+a_2^{2}+...+a_n^{2})(b_1^{2}+b_2^{2}+...+b_n^{2})\geq (a_1b_1+a_2b_2+...+a_n b_n)^{2}$$

kesamaan terjadi kalau dan hanya kalau $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}$

ketaksamaan di atas sanggup juga di tulis:
$$\boxed{\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k}\right)^{2}\leq\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^{2}\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^{2}\right)}$$

BUKTI

Didefinisikan fungsi $F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dengan $$F(t)=\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-tb_{k})^{2}$$
tampak terang bahwa $F$ merupakan fungsi tak negatif, oleh alasannya yakni itu diperoleh:

\begin{align*}F(t)&=\sum_{k=1}^{n}a_{k}^2-2ta_{k}b_{k}+t^2b_k^2\\&=\left ( \sum_{k=1}^{n}b_k^2 \right )t^2-2\left ( \sum_{k=1}^{n}a_kb_k \right )t+\left ( \sum_{k=1}^{n}a_k^2 \right )\geq 0\end{align*} 

karena $F(t)\geq0$ maka diskriminannya $\leq 0$ :

\begin{align*}4\left ( \sum_{k=1}^{n}a_kb_k \right )^2-4\left ( \sum_{k=1}^{n}a_k^2 \right )\left ( \sum_{k=1}^{n}b_k^2 \right )&\leq0\\4\left ( \sum_{k=1}^{n}a_kb_k \right )^2&\leq4\left ( \sum_{k=1}^{n}a_k^2 \right )\left ( \sum_{k=1}^{n}b_k^2 \right )\\\left ( \sum_{k=1}^{n}a_kb_k \right )^2&\leq\left ( \sum_{k=1}^{n}a_k^2 \right )\left ( \sum_{k=1}^{n}b_k^2 \right )\hspace{1cm}\blacksquare\end{align*}

pada Ketaksamaan Chaucy Schwarz  apabila kita pilih $a_i=\frac{t_i}{\sqrt{w_i}}$ dan $b_i=\sqrt{w_i}$ dengan $i=\left \{ 1, 2, 3, ... n \right \}$ dan $w_i\geq0$, maka diperoleh:
\small\begin{align*}\left ( \frac{t_1^2}{w_1} +\frac{t_2^2}{w_2}+...+\frac{t_n^2}{w_n}\right )\left ( w_1+w_2+...+w_n \right )&\geq\left ( t_1+t_2+...+t_n \right )^2\\ \frac{t_1^2}{w_1} +\frac{t_2^2}{w_2}+...+\frac{t_n^2}{w_n}&\geq\frac{\left ( t_1+t_2+...+t_n\right )^2}{w_1+w_2+...+w_n}\end{align*}

Bentuk ketaksamaan diatas dikenal dengan Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (CS Engel) yang dipopulerkan oleh Arthur Engel, ketaksamaan ini dikenal juga dengan "Lemma Titu" atau "Lemma Andreescu".

Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (CS Engel):

Untuk sembarang bilangan Real $t_1, t_2, t_3, ..., t_n$ dan sembarang bilangan real konkret $w_1, w_2, w_3, ... , w_n$ berlaku
$$\frac{{t_{1}}^{2}}{w_{1}}+\frac{{t_{2}}^{2}}{w_{2}}+\frac{{t_{3}}^{2}}{w_{3}}+...+\frac{{t_{n}}^{2}}{w_{n}}\geq\frac{(t_1+t_2+t_3+...+t_n)^{2}}{w_1+w_2+w_3+...+w_n}$$

CONTOH SOAL

SOAL 1

Untuk $a, b, c$ bilangan real positif, buktikan
$$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 9$$

Pembahasan:

Perhatikan bahwa:
$\small\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\left [ \left ( \sqrt{a} \right )^2 +\left ( \sqrt{b} \right )^2+\left ( \sqrt{c} \right )^2\right ]\left [ \left ( \frac{1}{\sqrt{a}} \right )^2+\left ( \frac{1}{\sqrt{b}} \right )^2+\left (  \frac{1}{\sqrt{c}}\right )^2 \right ]$

berdasarkan Ketaksamaan Chaucy Schwarz, maka:

$\scriptsize\begin{align*} \left [ \left ( \sqrt{a} \right )^2 +\left ( \sqrt{b} \right )^2+\left ( \sqrt{c} \right )^2\right ]\left [ \left ( \frac{1}{\sqrt{a}} \right )^2+\left ( \frac{1}{\sqrt{b}} \right )^2+\left (  \frac{1}{\sqrt{c}}\right )^2 \right ]&\geq\left ( \sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}.\frac{1}{\sqrt{c}} \right )^2\\ &\geq\left ( 1+1+1 \right )^2\\ &\geq 3^2\\ &\geq 9 \end{align*}$

SOAL 2 (South Africa, 1995)
Tunjukkan untuk setiap bilangan real konkret $a, b, c, d$ berlaku
$$\left ( a+b+c+d \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \right )\geq 64$$

Pembahasan:

Perhatikan bahwa $\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \right )$ sanggup kita tulis $\left ( \frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d} \right )$, sehingga menurut CS Engel:
$$\begin{align*}\left ( \frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d} \right )&\geq\frac{\left (1+1+2+4 \right )^2}{a+b+c+d}\\&\geq \frac{8^2}{a+b+c+d}\\ &\geq \frac{64}{a+b+c+d}\end{align*}$$
sehingga:
$$\left ( a+b+c+d \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \right )\geq 64$$

Penting:
Saya sarankan anda membuka blog ini memakai PC/laptop, alasannya yakni kalau memakai mobile/android kemungkinan tampilan persamaan matematika yang panjang akan terpotong, kalau memang terpaksa memakai mobile/android maka saya sarankan dalam posisi landscape dan pastikan setting rotasi layar dalam kondisi aktif.


$\blacksquare$ Denih Handayani, 2017

Tweet