Kesalahpahaman Mengenai Asimtot: Asimtot Dapat Berpotongan Dengan Kurva Dan Asimtot Tidak Selalu Garis Lurus

Tulisan kali terinspirasi dari soal SBMPTN Saintek 2017 (download soal SBMPTN 2017 pada link ini). Dalam beberapa arahan soal, kita menemukan soal wacana asimtot, baik asimtot tegak maupun asimtot datar dari fungsi rasional, sementara bahan ini tidak diajarkan di sekolah. Atas dasar itu aku mencoba mempelajari dari banyak sekali sumber, dan luar biasa ternyata aku menemukan hal-hal gres yang menarik wacana asimtot (lebih tepatnya aku langsung yang gres mengetahuinya). Tulisan ini aku awali dengan dua pertanyaan yang mungkin sanggup rekan-rekan jawab:

1. Menurut rekan-rekan apakah benar asimtot tidak pernah/tidak mungkin berpotongan dengan garis lengkung (kurva)?
2. Menurut rekan-rekan apakah benar asimtot selalu berupa garis lurus?

Awalnya aku langsung beranggapan asimtot tidak pernah memotong garis lengkung (kurva) dan asimtot niscaya berupa garis lurus. Namun ternyata aku KELIRU. 

Lho kok keliru? jadi yang benar bagai mana? 

Oke, sabar-sabar.... 

mari kita bandingkan asimtot secara definisi dengan fakta sebagai berikut:

Asimtot secara definisi

Asimtot berdasarkan ensiklopedia matematika:

Asimtot adalah garis yang tidak pernah dipotong oleh suatu garis lengkung namun di dekati hingga tak terbatas.

Asimtot berdasarkan Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI):

Asimtot adalah garis lurus yang makin didekati oleh suatu lengkungan, tetapi tidak pernah dipotong.

Pada kedua definisi di atas tampak terperinci menyatakan bahwa:

1. Asimtot tidak pernah dipotong oleh kurva.
2. Asimtot berupa garis lurus.

Sekarang, mari kita bandingkan dengan fakta berikut ini:

Fakta wacana Asimtot

Pada bab ini, aku akan menyajikan beberapa grafik fungsi rasional yang aku buat memakai aplikasi online pada web www.symbolab.com dan www.wolframalpha.com Sebagai pembanding, silakan rekan-rekan sanggup mencoba juga memakai aplikasi lain

Fakta 1: "Kurva sanggup memotong asimtot"

Kita ambil tumpuan salahsatu fungsi rasional $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$, asimtotnya yaitu sumbu $x$ atau garis $y=0$, berikut ini grafik dari fungsi tersebut, sanggup kita lihat bahwa fungsi tersebut memotong asimtot pada $x=0$.

Apakah mungkin kurva memotong asimtot lebih dari satu kali? Jawabannya tentu saja mungkin. 

Sekarang, kita coba ambil fungsi $f(x)=\frac{x^2+4x+1}{x^3+1}$, dan berikut ini grafiknya:

Perhatikan grafik di atas, kurva memotong asimtot sebanyak dua kali. Bahkan, kurva sanggup memotong asimtot sanggup lebih dari dua kali, misalnya grafik berikut:

Pada grafik fungsi di atas, kurva memotong asimtot beberapa kali.

Terkait dengan kurva sanggup memotong asimtot atau tidak, seseorang menanyakan hal ini pada sebuah lembaga matematika (mathforum.org), berikut ini tanggapan Doctor Peterson mengenai pertanyaan tersebut:

Doctor Peterson menyampaikan mengenai kurva tidak pernah memotong asimtot merupakan kesalahpahaman (miskonsepsi), mestinya penitikberatan definisi asimtot bukanlah pada memotong atau tidak memotong kurva, namun pada mendekati kurva.

Nah, itulah beberapa bukti bahwa kurva sanggup memotong asimtot, kini bagaimana dengan bentuk asimtot sendiri? apakah betul selalu berupa garis lurus? jawabannya, tidak. Anggapan bahwa asimtot selalu berupa garis lurus merupakan sebuah kesalahpahaman sama halnya dengan anggapan kita bahwa kurva dengan asimtot tidak pernah berpotongan.

Fakta 2: "Asimtot sanggup berupa garis lengkung (kurva)"

Misal kita ambil fungsi rasional $f(x) =\frac{x^3+2x^2+3x+4}{x} $,  dengan memakai wolframalpha, untuk fungsi tersebut, kita peroleh grafiknya sebagai berikut:

bisa kita lihat pada grafik di atas, asimtot fungsi tersebut berupa parabola. 

Contoh lain, mari kita lihat grafik dari fungsi $f(x)=\frac{4x^8+5x^2}{x^3+10}$ sebagai berikut:

Perhatikan grafik di atas, asimtot pada grafik di atas berupa fungsi polinomial derajat tiga. tentu bukan garis lurus (linear). 



Kesimpulan:

1. Kurva sanggup memotong asimtot, kecuali asimtot tegak (alasan kenapa tidak pernah memotong asimtot tegak kita bahas pada goresan pena berikutnya).
2. Asimtot sanggup berupa kurva. 

Baca juga: Cara memilih asimtot fungsi rasional

Jika ada kritik/saran silakan isi komentar. Semoga bermanfaat:

$\blacksquare$ Denih Handayani, 30 Agustus 2017

Tweet