Pada kurikulum 2013 revisi, bahan integral dipelajari di kelas XI pada matematika wajib.
Dalam kalkulus, ada dua konsep dasar integral yang dipelajari, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral).
Konsep integral tak tentu merupakan kebalikan atau invers dari turunan atau diferensial, oleh alasannya yaitu itu integral disebut juga sebagai anti turunan. Dengan kata lain, integral tak tentu atau anti diferensial merupakan cara untuk menemukan fungsi asal dari suatu fungsi yang sudah diturunkan.
Untuk lebih jelasnya perhatikan klarifikasi mengenai integral berikut ini dilengkapi dengan pola soal dan pembahasan.
Untuk lebih jelasnya perhatikan klarifikasi mengenai integral berikut ini dilengkapi dengan pola soal dan pembahasan.
Integral Tak Tentu
Seperti yang sudah disebutkan di atas, integral merupakan kebalikan dari turunan. Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut:
Misal ada soal menyerupai ini, Tentukan turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$ menurut konsep turunan yang pernah kita pelajari maka kita sanggup menjawab bahwa turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$ yaitu $\displaystyle f'(x)=12x^2+4x-5$.
Tapi bagaimana jikalau pertanyaanya adalah, tentukan fungsi $f(x)$ jikalau diketahui turunan dari $f(x)$ yaitu $f'(x)=12x^2+4x-5$. Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita butuh konsep antiturunan atau integral.
Jika $F'(x)=f(x)$, maka $\displaystyle\int f(x)=F(x)+C$ dengan $C$ suatu konstanta dan $C\in$ bilangan real.
Rumus Dasar Integral
Untuk setiap bilangan real $n\ne -1$, maka: $$\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$
Kebenaran rumus ini sanggup dengan gampang kita buktikan dengan menurunkan fungsi pada ruas kanan sebagai berikut:
$\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{n+1}x^{x+1}+C\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{(n+1)-1}+0=x^n$
Rumus perkalian skalar
$$\int k f(x) dx=k\int f(x) dx $$ untuk setiap $k$ bilangan real
Perhatikan beberapa pola soal dan pembahasan berikut ini:
Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Integral
$$\int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x)dx\pm\int g(x) dx$$
Contoh 1
$\displaystyle \int x^4 dx=$ ....
Jawab:
Dalam integral di atas, $n=4$. Dengan menggunkan Rumus Dasar Integral, maka kita peroleh
$\begin{align*}\int x^4 dx&=\frac{1}{4+1}x^{4+1}+C\\&=\frac{1}{5}x^5+C\end{align*}$
Misal ada soal menyerupai ini, Tentukan turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$ menurut konsep turunan yang pernah kita pelajari maka kita sanggup menjawab bahwa turunan dari $\displaystyle f(x)=4x^3+2x^2-5x+3$ yaitu $\displaystyle f'(x)=12x^2+4x-5$.
Tapi bagaimana jikalau pertanyaanya adalah, tentukan fungsi $f(x)$ jikalau diketahui turunan dari $f(x)$ yaitu $f'(x)=12x^2+4x-5$. Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita butuh konsep antiturunan atau integral.
Jika $F'(x)=f(x)$, maka $\displaystyle\int f(x)=F(x)+C$ dengan $C$ suatu konstanta dan $C\in$ bilangan real.
Rumus Dasar Integral
Untuk setiap bilangan real $n\ne -1$, maka: $$\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$
Kebenaran rumus ini sanggup dengan gampang kita buktikan dengan menurunkan fungsi pada ruas kanan sebagai berikut:
$\displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{n+1}x^{x+1}+C\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{(n+1)-1}+0=x^n$
Rumus perkalian skalar
$$\int k f(x) dx=k\int f(x) dx $$ untuk setiap $k$ bilangan real
Perhatikan beberapa pola soal dan pembahasan berikut ini:
Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Integral
$$\int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x)dx\pm\int g(x) dx$$
Contoh 1
$\displaystyle \int x^4 dx=$ ....
Jawab:
Dalam integral di atas, $n=4$. Dengan menggunkan Rumus Dasar Integral, maka kita peroleh
$\begin{align*}\int x^4 dx&=\frac{1}{4+1}x^{4+1}+C\\&=\frac{1}{5}x^5+C\end{align*}$
Contoh 2
$\displaystyle\int \frac{1}{x^3} dx=$ ....
Jawab:
$\displaystyle \frac{1}{x^3}$ sanggup dinyatakan sebagai $x^{-3}$, maka:
$\begin{align*}\int\frac{1}{x^3} dx&=\int x^{-3} dx\\&=\frac{1}{-3+1}x^{-3+1}+C\\&=-\frac{1}{2}x^{-2}+C\\&=-\frac{1}{2x^2}+C\end{align*}$
Contoh 3
$\displaystyle\int \sqrt[3]{x^2}=$ ....
Jawab:
$\displaystyle\sqrt[3]{x^2}$ sanggup dinyatakan sebagai $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}$, maka:
$\begin{align*}\int \sqrt[3]{x^2} dx&=\int{x^{\frac{2}{3}}}dx\\&=\frac{1}{\frac{2}{3}+1}x^{\frac{2}{3}+1}+C\\&=\frac{1}{\frac{5}{3}}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2}+C\end{align*}$
Baca juga : Download Soal Integral Tak Tentu pdf
Contoh 4
$\displaystyle\int {4x^3} dx=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int{4x^3}dx&=4\int{x^3}dx\\&=4.\frac{1}{3+1}x^{3+1}+C\\&=\frac{4}{4}x^4+C\\&=x^4+C\end{align*}$
Contoh 5
$\displaystyle\int \left(3x^2-4x+5\right)=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int{\left(3x^2-4x+5\right)dx}&=3\int x^2 dx-4\int x dx+5\int dx\\&=3\left(\frac{1}{3}x^3\right)-4\left(\frac{1}{2}x^2\right)+5x+C\\&=x^3-2x^2+5x+C\end{align*}$
Contoh 6
$\displaystyle\int \left(x^2-3\right)^2 dx=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int{\left(x^2-3\right)^2} dx&=\int\left(x^4-6x^2+9\right)dx\\&=\int x^4 dx-6\int x^2 dx+9\int dx\\&=\frac{1}{5}x^5-6\left(\frac{1}{3}x^3\right)+9x+C\\&=\frac{1}{5}x^5-2x^3+9x+C\end{align*}$
Contoh 7
$\displaystyle\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx&=\int\left(\frac{x^2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx\\&=\int\left(\frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\right)dx\\&=\int\left(x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right)dx\\&=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}+C\\&=\frac{2}{5}x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C\end{align*}$
Demikianlah pola soal dan pembahasan integral tak tentu.
Tunggu pembahasan integral selanjutnya di blog ini
$\displaystyle\int \frac{1}{x^3} dx=$ ....
Jawab:
$\displaystyle \frac{1}{x^3}$ sanggup dinyatakan sebagai $x^{-3}$, maka:
$\begin{align*}\int\frac{1}{x^3} dx&=\int x^{-3} dx\\&=\frac{1}{-3+1}x^{-3+1}+C\\&=-\frac{1}{2}x^{-2}+C\\&=-\frac{1}{2x^2}+C\end{align*}$
Contoh 3
$\displaystyle\int \sqrt[3]{x^2}=$ ....
Jawab:
$\displaystyle\sqrt[3]{x^2}$ sanggup dinyatakan sebagai $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}$, maka:
$\begin{align*}\int \sqrt[3]{x^2} dx&=\int{x^{\frac{2}{3}}}dx\\&=\frac{1}{\frac{2}{3}+1}x^{\frac{2}{3}+1}+C\\&=\frac{1}{\frac{5}{3}}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+C\\&=\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2}+C\end{align*}$
Baca juga : Download Soal Integral Tak Tentu pdf
Contoh 4
$\displaystyle\int {4x^3} dx=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int{4x^3}dx&=4\int{x^3}dx\\&=4.\frac{1}{3+1}x^{3+1}+C\\&=\frac{4}{4}x^4+C\\&=x^4+C\end{align*}$
Contoh 5
$\displaystyle\int \left(3x^2-4x+5\right)=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int{\left(3x^2-4x+5\right)dx}&=3\int x^2 dx-4\int x dx+5\int dx\\&=3\left(\frac{1}{3}x^3\right)-4\left(\frac{1}{2}x^2\right)+5x+C\\&=x^3-2x^2+5x+C\end{align*}$
Contoh 6
$\displaystyle\int \left(x^2-3\right)^2 dx=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int{\left(x^2-3\right)^2} dx&=\int\left(x^4-6x^2+9\right)dx\\&=\int x^4 dx-6\int x^2 dx+9\int dx\\&=\frac{1}{5}x^5-6\left(\frac{1}{3}x^3\right)+9x+C\\&=\frac{1}{5}x^5-2x^3+9x+C\end{align*}$
Contoh 7
$\displaystyle\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx=$ ....
Jawab:
$\begin{align*}\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\right)dx&=\int\left(\frac{x^2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx\\&=\int\left(\frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\right)dx\\&=\int\left(x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right)dx\\&=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}+C\\&=\frac{2}{5}x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C\end{align*}$
Demikianlah pola soal dan pembahasan integral tak tentu.
Tunggu pembahasan integral selanjutnya di blog ini
0 Response to "Integral Tak Tentu - Matematika Wajib Kelas Xi"
Post a Comment