Sin 18, Cos 18, Tan 18

Sin 18$^0$ = .....
Penyelesaian:

Misal:
$x = 18°$
$2x + 3x = 90°$
$2x = 90° - 3x$
$\sin 2x = \sin (90° - 3x)$
$2 \sin x.\cos x = \cos 3x$
$2 \sin x.\cos x = \cos (2x + x)$
$2 \sin x.\cos x = \cos 2x.\cos x - \sin 2x.\sin x$
$2 \sin x.\cos x = \cos 2x.\cos x - 2 \sin x.\cos x.\sin x$
$2 \sin x = \cos 2x - 2 \sin x.\sin x$
$2 \sin x = 1 - 2 \sin^2 x - 2 \sin^2 x$
$2 \sin x = 1 - 4 \sin^2 x$
$4 \sin^2 x + 2 \sin x - 1 = 0$
$\sin x = y$, maka
$4y^2 + 2y - 1 = 0$
$y = \frac{-2+\sqrt{2^2-4.4.(-1)}}{2.4}$ atau $y = \frac{-2-\sqrt{2^2-4.4.(-1)}}{2.4}$
$sin x = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$ atau $sin x = \frac{-1-\sqrt{5}}{4}$
alasannya yakni $x = 18^o$ berada di kuadran pertama, maka nilai $\sin x$ yang memenuhi adalah: $\sin x = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$

Untuk memilih nilai $\cos 18^o$ kita gunakan konsep dasar perbandingan trigonometri menyerupai berikut ini:
Ingat: $\sin x = \frac{de}{mi}$ maka:
$\sin x = \frac{-1+\sqrt{5}}{4}=\frac{de}{mi}$, diperoleh $de = -1 +\sqrt{5}$ dan $mi = 4$, dengan memakai teorema phythagoras
$sa =\sqrt{mi^2 - de^2}$
$sa = \sqrt{4^2 - (-1 + \sqrt{5})^2}$
$sa = \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$
$\cos 18^o = \frac{sa}{mi}$
$\cos 18^o = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$

Sedangkan untuk nilai $\tan 18^o$ kita gunakan: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, diperoleh:
$\tan 18^o = \frac{\sin 18^o}{\cos 18^o}$
$\tan 18^o = \frac{-1 + \sqrt{5}}{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}$

Tweet