Pembahasan Matematika Olimpiade Guru Sma 2018 Lospi (Part-1)

Bapak/Ibu guru, rekan-rekan seperjuangan di dalam dunia pendidikan, kali ini catatanmatematika.com share Pembahasan Matematika Guru Sekolah Menengan Atas Olimpiade Sains Plus 2018 untuk guru. Adapun pembahasan menurut hasil aliran penulis dan ini masih jauh dari kata "SEMPURNA". Untuk itu aku berharap untuk kalau Bapak/Ibu guru mendapati ada pembahasan yang kurang tepat, aku berharap kiranya bapak/ibu berkenan memberi saran dan pendapatnya di kolom komentar di bawah postingan ini. Tujuan aku share ini, sebab Berbagi Itu Indah.

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 1
Digit terakhir dari $(2002)^{2002}$ ialah ....
A. 8    B. 4    C. 2    D. 1    E. 0
Pembahasan:
Karena yang ditanya digit terakhir, cukup kita pandang $2002^{2002}$ sebagai $2^{2002}$.
$2^1$ = 2, maka digit terakhir 2
$2^2$ = 4, maka digit terakhir 4
$2^3$ = 8, maka digit terakhir 8
$2^4$ = 16, maka digit terakhir 6
$2^5 = 2^{4 + 1}$ = 32, maka digit terakhir 2
$2^6 = 2^{4 + 2}$ = 64, maka digit terakhir 4
$2^7 = 2^{4 + 3}$ = 128, maka digit terakhir 8
$2^8 = 2^{4.4}$ = 256, maka digit terakhir 6
Dari sampel di atas terlihat contoh yang berulang, sehingga:
$2^{(4k + 1)}$, maka digit terakhirnya 2
$2^{(4k + 2)}$, maka digit terakhirnya 4
$2^{(4k + 3)}$, maka digit terakhirnya 8
$2^{4k}$, maka digit terakhirnya 6
Kembali ke soal:
$2^{2.002} = 2^{4.(500) + 2}$, maka digit terakhirnya 4.
Kunci: B

Soal Lospi Olimpiade Guru  No. 2
Diketahui $a$, $b$, dan $c$ ialah tiga bilangan lingkaran faktual berbeda yang memenuhi $abc$ = 16. Nilai terbesar yang memenuhi dari $a^b - b^c + c^a$ ialah ...
A. 263   B. 253   C. 249   D. 200   E. 63
Pembahasan:
$a.b.c = 16$; a, b, c bilangan lingkaran faktual berbeda
Kemungkinan-kemungkinannya adalah:
$a.b.c = 1.2.8$ maka $a^b - b^c + c^a = 1^2 - 2^8 + 8^1 = -247$
$a.b.c = 1.8.2$ maka $a^b - b^c + c^a = 1^8 - 8^2 + 2^1 = -61$
$a.b.c = 2.1.8$ maka $a^b - b^c + c^a = 2^1 - 1^8 + 8^2 = 65$
$a.b.c = 2.8.1$ maka $a^b - b^c + c^a = 2^8 - 8^1 + 1^2 = 249$
$a.b.c = 8.2.1$ maka $a^b - b^c + c^a = 8^2 - 2^1 + 1^8 = 63$
$a.b.c = 8.1.2$ maka $a^b - b^c + c^a = 8^1 - 1^2 + 2^8 = 263$
Jadi, nilai terbesar ialah 263.
Kunci: A

Untuk menjawab soal No.3 dan No.4 memakai rumus suku ke-n barisan bertingkat. Baca:
Barisan dan Deret Bilangan Bertingkat

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 3
Empat bilangan pertama dari barisan 3, 5, 9, 15, 23, .... Suku ke-16 barisan tersebut ialah ....
A. 235   B. 239   C. 243   D. 245   E. 249
Pembahasan:
3,     5,     9,    15,    23, ....
   +2    +4    + 6    +8
         +2    +2    + 2
$a = 3$
$a_1 = 2$
$a_2 = 2$ 
$\begin{align*}U_n &= a + (n-1).a_1 + \frac{(n-1)(n-2)}{1.2}.a_2\\
&= 3 + (n-1).2 + \frac{(n-1)(n-2)}{1.2}.2\\
&= 3 + 2n - 2 + n^2 - 3n + 2\\
U_n &= n^2 - n + 3 \\
U_{16} &= 16^2 - n + 3 \\
&= 243
\end{align*}$
Kunci: C

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 4
Empat bilangan pertama dari barisan segitiga 1, 3, 6, 10, .... Bilangan ke-10 dari barisan segitiga tersebut ialah ....
A. 45    B. 55    C. 66    D. 70    E. 78
Pembahasan:
1,     3,     6,    10,  ....
   +2    +3    + 4 
         +1    +1 
$a = 1$
$a_1 = 2$
$a_2 = 1$ 
$\begin{align*}U_n &= a + (n-1).a_1 + \frac{(n-1)(n-2)}{1.2}.a_2\\
&= 1 + (n-1).2 + \frac{(n-1)(n-2)}{1.2}.1\\
&= 1+ 2n - 2 + \frac{n^2 - 3n + 2}{2}\\
&= \frac{1}{2}.(n^2 + n) \\
U_n &= \frac{n(n+1)}{2} \\
U_{10} &= \frac{10(10+1)}{2} \\
&= 55
\end{align*}$
Kunci: B

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 5
Dua puluh empat anak sanggup menuntaskan suatu pekerjaan dalam 90 jam. Setelah mereka bekerja selama 46 jam, mereka istirahat selama 12 jam. Jika pekerjaan tersebut harus selesai pada waktunya, maka banyak anak yang harus ditambah ialah ... orang.
A. 5    B. 6    C. 7   D. 9    E. 11
Pembahasan:
$banyak \ pekerja \times waktu = total \ pekerjaan$
$24 \times 90 = 2160$
Bekerja 46 jam, maka:
$pekerjaan \ yang \ selesai = 24 \times 46 = 1104$
Karena istirahat 12 jam, maka sisa pekerjaan = 2160 - 1104 = 1056,
dan waktu yang tersisa = 90 - 46 - 12 = 32 jam. Akibatnya, perlu pelengkap $x$ pekerja.
$\begin{align*} 32 \times (24 + x) &= 1056\\
24 + x &= 33\\
x &= 9\end{align*}$
Kunci: D

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 6
Suatu angkutan kota memiliki hukum pembayaran sebagai berikut: Pada dikala naik setiap penumpang harus membayar Rp. 600, sehabis 4 km pertama harus membayar Rp. 1.400, dan setiap menempuh 2 km berikutnya harus membayar Rp. 150, dan membayar Rp. 100 sehabis 1 km. Budi menaiki angkutan kota tersebut sejauh 21 km. Berapakah minimal uang yang harus dibayar Budi untuk jasa angkutan kota itu?
A. Rp. 2.500
B. Rp. 2.700
C. Rp. 3.000
D. Rp. 3.300
E. Rp. 3.500
Pembahasan:
1 - 4 km bayar Rp. 600
4 km bayar Rp. 1.400
sisa perjalanan = 21 - 4 = 17 km
17 km = 2 km x 8 + 1 km, bayar = 150 x 8 + 100 = Rp. 1.300
Total = 600 + 1.400 + 1.300 = Rp. 3.300
Kunci: D

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 7
Diketahui $-2 \le x \le 5$, $-3 \le y \le 5$, $4 \le z \le 8$, dan $w = xy - z$. Berapakah nilai terkecil dari $w$ yang memenuhi?
A. -23   B. 23   C. 24   D. -24   E. 20
Pembahasan:
supaya $w = xy - z$ maka $xy$ harus minimum dan $z$ harus maksimum.
sebab $4 \le z \le 8$, maka kita ambil $z = 8$.
sebab $-2 \le x \le 5$, $-3 \le y \le 5$, $4 \le z \le 8$, supaya $xy$ minimum maka kita ambil $x = 5$ dan $y = -3$
maka $w = xy - z \leftrightarrow w = 5.(-3) - 8 \leftrightarrow w = -23$
Kunci: A


Soal Lospi Olimpiade Guru No. 8
Misalkan titik A terletak pada garis $l$, yaitu $y = 5x + 3$. Koordinat titik B ialah (-3, -2). Bila titik T berada di tengah-tengah AB sehingga AB tegak lurus dengan garis $l$, tentukan persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui T.
A. $y = 5x + 7$
B. $y = x + 5$
C. $y = 4x + 2$
D. $y = 3x + 7$
E. $y = 2x + 6$
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi berikut:

dari ilustrasi gambar terang bahwa garis T (garis k) sejajar dengan garis y = 5x + 3, dan gradien dua buah garis sejajar ialah sama, maka dengan melirik opsi jawaban, terang yang memenuhi hanya opsi A.

Kunci: A

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 9
Tujuh ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepak bola dalam waktu 7 hari. Waktu yang diharapkan 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola ialah ... hari.
A. 3    B. 4    C. 5    D. 6    E. 7
Pembahasan:
dari problem di atas maka diperoleh:
$V_{makan \ kambing}$ = 1 lapangan bola per 7 hari$
Nah, terdapat 3 ekor kambing dan rumput 3 ukuran lapangan bola, maka masing-masing kambing memakan rumput 1 lapangan bola, maka 3 ekor kambing sanggup menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola sebanyak 7 hari.
Kunci: C

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 10
Tentukan banyaknya digit (angka) pada bilangan $2^{2.004}.5^{2.003}$ ialah ...
A. 2003 buah
B. 2005 buah
C. 2006 buah
D. 2004 buah
E. 2007 buah
Pembahasan:
$\begin{align*} 2^{2.004}.5^{2.003} &= 2.2^{2.003}.5^{2.003} \\
&= 2.(2.5)^{2.003} \\
&= 2.10^{2.003} \\
&= 2 \times 10000....0000 \ dengan \ 0 \ sebanyak \ 2.003 \ buah \\
&= 200000....0000 \ dengan \ 0 \ sebanyak \ 2.003 \ buah \\
\end{align*}$
maka digit (angka) seluruhnya ialah 2004 buah.
Kunci: D

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 11
Tentukan semua nilai $n$, sehingga $n$ dan $\frac{n+3}{n-1}$ keduanya merupakan bilangan bulat.
A. -1, -2, -4, 0, 1, dan 2
B. -5, -3, -2, 0, dan 3
C. -5, -4, -3, 1 dan 3
D. -1, -2, 0, 1, 2, dan 4
E. -5, -3, -2, 0, 1, dan 3
Pembahasan:
$\frac{n+3}{n-1} = \frac{(n - 1) + 4}{n-1}$
$\frac{n+3}{n-1} = 1 + \frac{4}{n-1}$
supaya $\frac{n+3}{n-1}$ bilangan lingkaran maka $\frac{4}{n - 1}$ juga harus bilangan bulat, maka $n-1$ ialah faktor dari 4, dengan kata lain $n - 1$ ialah elemen dari {-4, -2, -1, 1, 2, 4}.
kita peroleh:
$n - 1 = -4 \leftrightarrow n = -3$
$n - 1 = -2 \leftrightarrow n = -1$
$n - 1 = -1 \leftrightarrow n = 0$
$n - 1 = 1 \leftrightarrow n = 2$
$n - 1 = 2 \leftrightarrow n = 3$
$n - 1 = 4 \leftrightarrow n = 5$
n = {-3, -1, 0, 2, 3, 5}
Kunci: Tidak ada opsi

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 12
Misalkan $N = \frac{1}{10} + \frac{2}{10^2} + \frac{3}{10^3} + ... + \frac{11}{10^{11}}$ dalam bentuk desimal. Carilah nilai N.
A. N = 0,12345679011
B. N = 0,12356679011
C. N = 0,123456788911
D. N = 0,12456790011
E. N = 0,12556789011
Pembahasan:
$\begin{align*} \frac{1}{10} &= 0,1 \\
\frac{2}{10^2} &= 0,02 \\
\frac{3}{10^3} &= 0,003 \\
\frac{4}{10^4} &= 0,0004 \\
\frac{5}{10^5} &= 0,00005 \\
\frac{6}{10^6} &= 0,000006 \\
\frac{7}{10^7} &= 0,0000007 \\
\frac{8}{10^8} &= 0,00000008 \\
\frac{9}{10^9} &= 0,000000009 \\
\frac{10}{10^{10}} &= 0,00000000010 \\
\frac{11}{10^{11}} &= 0,000000000011 \\
\frac{1}{10} + \frac{2}{10^2} + \frac{3}{10^3} + ... + \frac{11}{10^{11}} &= 0,12345679011
\end{align*}$
Kunci: A

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 13
Sisa pembagian dari $2^{13}$ dengan 13 ialah ...
A. 1    B. 2    C. 3    D. 4    E. 5
Pembahasan:
$2^13$ modulo 13
$2^4.2^4.2^4.2$ modulo 13
$3 \times 3 \times 3 \times 2$ modulo 13
54 modulo 13
(4.13 + 2) modulo 13
2 modulo 13
Makara sisa pembagian $2^13$ dengan 13 ialah 2
Kunci: B

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 14
Diketahui $x$ dan $y$ dua bilangan faktual dan rata-rata dari 4, 20, dan $x$ sama dengan rata-rata $y$ dan 16. Berapakah rasio $x$ : $y$
A. 1:2    B. 2:4    C. 2:3    D. 3:4  E. 3:2
Pembahasan:
$\begin{align*} \frac{4 + 20 + x}{3} &= \frac{y+16}{2} \\
\frac{x+24}{3} &= \frac{y + 16}{2} \\
2x + 48 &= 3y + 48 \\
2x &= 3y \\
\frac{x}{y} &= \frac{3}{2} \\
x : y &= 3 : 2
\end{align*}$
Kunci: E

Soal Lospi Olimpiade Guru No. 15
Suatu keluarga memiliki 4 orang anak, anak termuda berumur setengah dari anak tertua, anak kedua 3 tahun lebih bau tanah dari anak termuda, dan anak ketiga 5 tahun lebih gampang daripada anak tertua. Bila rata-rata umur mereka 16 tahun, maka umur anak tertua ialah ... tahun.
A. 16    B. 18    C. 20    D. 22    E. 24
Pembahasan:
Misal keempat anak itu dari tertua sampai termuda adalah: a, b, c, d, maka:
a = 2d
b = d + 3
c = a - 5
c = 2d - 5
$\frac{a + b + c + d}{4} = 16$
a + b + c + d = 64
2d + (d + 3) + (2d - 5) + d = 64
6d = 66
d = 11
a = 2d = 22
Kunci: D
Semoga bermanfaat bagi kita semua!
Motto: Berbagi Itu Indah
Baca juga: Soal dan Pembahasan Matematika Olimpiade Guru Sekolah Menengan Atas 2018 LOSPI (No. 16 - 30)

Tweet