Turunan Fungsi Aljabar

Materi ihwal turunan (diferensial) aku rasa sangat penting untuk dipelajari, alasannya bahan ini sanggup sangat membantu atau mempermudah bahan lain, menyerupai dalam penyelesaian limit, nilai maksimum atau minimum, puncak fungsi kuadrat, duduk masalah gradien dan sebagainya. 

A. Definisi Turunan Fungsi

Misalnya $y$ ialah suatu fungsi dari $x$ atau $y=f(x)$, turunan fungsi $y$ terhadap $x$ dinotasikan dengan $\frac{dy}{dx}$ atau $y'$ atau $f'(x)$ dan didefinisikan sebagai berikut: $$\boxed{f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

Contoh:

Dengan memakai definisi $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x)}{h}$, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:

a. $f(x)=5$

b. $f(x)=x$

c. $f(x)=x^2$

d. $f(x)=x^3$

Jawab:

a. $f(x)=5$

$f'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{5-5}{h}}=0$

b. $f(x)=x$

$\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}\\&=1\end{align*}$

c. $f(x)=x^2$

$\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}\\&=\lim_{h\to 0}2x+h\\&=2x\end{align*}$

d. $f(x)=x^3$

$\begin{align*}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}3x^2+3xh+h^2\\&=3x^2\end{align*}$

B. Turunan Fungsi Aljabar

Perhatikan kembali pola soal di atas, jadi pola tersebut kita peroleh kesimpulan:

1. Jika $f(x)=k$, maka $f'(x)=0$
2. Jika $f(x)=x$, maka $f'(x)=1$
3. Jika $f(x)=x^2$, maka $f'(x)=2x$
4. Jika$f(x)=x^3$, maka $f'(x)=3x^2$
5. dst

Dari pola terebut, kita memilih rumus turunan sebagai berikut:
$$\boxed{f(x)=ax^n\Rightarrow f'(x)=an x^{n-1}}$$
Contoh soal:
Dengan memakai rumus, tentukan turunan fungsi berikut:
a. $f(x)=4x^3$
b. $f(x)=3x^5+2x^2+3x+2$
c. $f(x)=\frac{3}{x^4}$
d. $f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$

Jawab:
$\begin{align*}\text{a.}\space f(x)&=4x^3\\f'(x)&=12x^2\end{align*}$

untuk menjawab soal bab b, perhatikan dulu ketentuan berikut:
Jika $g$ dan $h$ ialah fungsi-fungsi dari $x$ yang sanggup diturunkan, dan jikalau $f(x)=g(x)\pm h(x)$, maka: $f'(x)=g'(x)\pm h'(x)$. Dengan kata lain, jikalau suatu fungsi merupakan penjumlahan atau pengurangan dari beberapa suku, maka turunan fungsi tersebut juga merupakan penjumlahan atau pengurangan dari turunan suku-sukunya.

$\begin{align*}\text{b.}\space f(x)&=3x^5+2x^2+3x+2\\f'(x)&=15x^4+4x+3\end{align*}$

$\begin{align*}\text{c.}\space f(x)&=\frac{3}{x^4}=3x^{-4}\\f'(x)&=-12x^{-5}=-\frac{12}{x^5}\end{align*}$

$\begin{align*}\text{d.}\space f(x)&=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\\f'(x)&=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\\&=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{2x\sqrt{x}}\end{align*}$

C. Turunan Fungsi Majemuk

Jika U dan V fungsi-fungsi dari $x$ yang sanggup diturunkan dan jikalau $f(x)=U(x).V(x)$, maka:

$f'(x)=U'(x).V(x)+U(x).V'(x)$

Contoh:
Tentukan turunan dari $f(x)=(x^2-2x)(2x^2+3x)$

Jawab:

Misal 
$U=x^2-2x\Rightarrow U'=2x-2$
$V=2x^2+3x\Rightarrow V'=4x+3$

$\begin{align*}f'(x)&=U'V+UV'\\&=(2x-2)(2x^2+3x)+(x^2-2x)(4x+3)\\&=4x^3+2x^2-6x+4x^3-5x^2-6x\\&=8x^3-3x^2-12x\end{align*}$

Jika U dan V fungsi-fungsi dari $x$ yang sanggup diturunkan dan jikalau $f(x)=\frac{U(x)}{V(x)}$, maka:

$f'(x)=\frac{U'(x).V(x)-U(x).V'(x)}{[V(x)]^2}$

Contoh:
Tentukan turunan dari fungsi $f(x)=\frac{2x+1}{3x-2}$

Jawab:

Misal
$U=2x+1\Rightarrow U'=2$
$V=3x-2\Rightarrow V'=3$

$\begin{align*}f'(x)&=\frac{U'V-UV'}{V^2}\\&=\frac{2(3x-2)-(2x+1)3}{(3x-2)^2}\\&=\frac{6x-4-6x-3}{(3x-2)^2}\\&=\frac{-7}{(3x-2)^2}\end{align*}$

Jika U merupakan fungsi dari $x$ yang sanggup diturunkan dan jikalau $f(x)=U(x)^n$, maka:

$f'(x)=n. U(x)^{n-1}. U'(x)$

Contoh:

Tentukan turunan dari $f(x)=(5x^2+3)^7$

Jawab:

Misal: $U=5x^2+3\Rightarrow U'=10x$

$\begin{align*}f'(x)&=7(5x^2+3)^6.10x\\&=70x(5x^2+3^6)\end{align*}$

Tweet