Cara Memilih Asimtot Fungsi Rasional

Masih berkaitan dengan artikel sebelumnya, kali ini pun kita masih membahas wacana asimtot, lebih tepatnya asimtot pada fungsi rasional. Sebelum mempelajari bahan ini, aku sarankan anda membaca artikel sebelumnya mengenai asimtot, atau klik pada link ini. 

Sebelum kita mulai bahan bagaimana cara memilih asimtot, mari kita paahami dulu beberapa istilah yang akan kita gunakan, yaitu: asimtot, fungsi rasional, dan hole.

Apa Itu Asimtot?
Asimtot ialah suatu garis yang terus didekati oleh suatu kurva (garis lengkung) hingga jauh takhingga.

Banyak yang mengartikan, "didekati" artinya sama sekali tidak pernah memotong, namun itu keliru. Kurva dapat juga memotong asimtotnya. Namun meskipun memotong, kurva tetap terus mendekati asimtot ke arah $+\infty$ atau $-\infty$. Biar lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Gamabar di atas, kurva mendekati asimtot ke arah $x$ menuju $-\infty$, kurva juga memotong asimtot pada $x$ positif, hal ini mungkin terjadi, alasannya ialah definisi asimtot sendiri penekanannya ialah pada "kurva mendekati asimtot" bukan duduk kasus memotong atau tidak memotong. 

Asimtot terbagi menjadi 4 jenis (bentuk) yaitu:

1. Asimtot datar (Horizontal Asymtote)

Asimtot datar ialah asimtot yang  sejajar atau berimpit dengan sumbu $x$.

2. Asimtot tegak (Vertical Asymtote)

Asimtot tegak ialah asimtot yang sejajar atau berimpit dengan sumbu $y$.

3. Asimtot miring (Slant Asymtote atau Oblique Asymtote)

Asimtot miring ialah asimtot yang tidak sejajar dengan sumbu $x$ maupun sumbu $y$.

4. Asimtot kurva (Curvilinear Asymtote)

Asimtot kurva ialah asimtot yang tidak berupa garis lurus, melainkan sebuah kurva (garis lengkung) 

Apa Itu Fungsi Rasional?

$f(x)$ dikatakan sebagai fungsi rasional jikalau memenuhi bentuk $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ dengan $g(x)$ dan $h(x)$ merupakan polinomial. Atau dengan kata lain, fungsi rasional ialah fungsi yang berupa pecahan dengan penyebut dan pembilang berupa polinomial.


Apa Itu "Hole"?
Secara bahasa "hole" bisa kita terjemahkan sebagai "lubang", maksudnya ialah lubang secara grafis. Perhatikan grafik fungsi $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ berikut:

Pada grafik fungsi $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ di atas, hole (lubang) terbentuk dikala $x=2$, hal ini terjadi alasannya ialah jikalau kita substitusikan $x=2$ ke dalam fungsi $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$, maka kita peroleh $f(2)=\frac{0}{0}$ ibarat yang kita ketahui $\frac{0}{0}$ merupakan bentuk tak tentu.


$\begin{align*}f\left ( x \right )&=\frac{2x-4}{x^2-4}\\&=\frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)} \\&=\frac{2}{x+2}\hspace{2cm}\text{dengan }x\ne 2\end{align*}$

sekarang, coba perhatikan grafik $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ di atas dengan grafik $f(x)=\frac{2}{x+2}$ berikut:

Ternyata, grafik $f(x)=\frac{2x-4}{x^2-4}$ dengan $f(x)=\frac{2}{x+2}$ identik, kecuali pada hole-nya.

Cara Menentukan Asimtot Tegak (Vertical Asymptotes)

Langkah-langakahnya ialah sebagai berikut:

1. Faktorkan penyebut (dan pembilanganya jikalau memungkinkan)
2. "coret" faktor yang sama pada penyebut dan pembilang. 
3. Bagian penyebut yang kita coret  penyebab hole, dan yang tidak kita coret dari sanalah kita menemukan asimtot tegaknya.

Contoh 1:

Tentukan asimtot tegak dan hole pada fungsi $f(x)=\frac{2x^2-5x-12}{x^2-5x+4}$

Jawab:
$\begin{align*}f(x)&=\frac{2x^2-5x-12}{x^2-5x+4}\\&=\frac{(x-4)(2x+3)}{(x-4)(x-1)}\\&=\frac{2x+3}{x-1}, x\ne4\end{align*}$

Faktor yang sama pada pembilang dan penyebut adalah $x-4$, dengan demikian hole terjadi ketika $x=4$
Perhatikan penyebut pada baris terakhir, yaitu $x-1$. Penyebut bernilai nol dikala $x=1$, dengan demikian asimtot tegaknya ialah $x=1$.

Contoh 2:
tentukan asimtot tegak dan hole pada fungsi $f(x)=\frac{(3x+1)(x+4)}{(x-7)(x+4)}$.

Jawab:
Faktor yang sama pada pembilang dan penyebut ialah $x+4$, dengan demikian hole nya ialah $x=-4$
Perhatikan penyebut selain $(x+4)$, yaitu $x-7$, penyebut sama dengan nol dikala $x=7$ dengan demikian asimtot tegaknya ialah $x=7$.

Cara Menentukan Asimtot Datar, Asimtot Miring dan Asimtot Kurva.

Misal diketahui fungsi rasional: $$f(x)=\frac{ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\cdots+k}{px^m+qx^{m-1}+rx^{m-2}+\cdots+z}$$
maka:

1. Jika $n\lt m$, maka asimtot datarnya adalah $y=0$.
2. Jika $n=m$, maka asimtot datarnya adalah $y=\frac{a}{p}$
3. Jika $n>m$, maka asimtotnya berupa asimtot miring atau asimtot kurva.

Contoh 3:

Tentukan asimtot datar atau asimtot miring dari fungsi $f(x)=\frac{12x^5+4x^2+1}{3x^6+5x^3+12}$

Jawab:

Karena derajat (pangkat tertinggi) pembilang < derajat (pangkat tertinggi) penyebut, maka asimtot datarnya ialah $y=0$

Contoh 4:

Tentukan asimtot datar, asimtot miring atau asimtot kurva dari fungsi $f(x)=\frac{6x^3+2x^2+1}{3x^3+2x^2+2}$

Jawab:

Karena derajat (pangkat tertinggi) pembilang = derajat (pangkat tertinggi) penyebut, maka asimtot datarnya ialah $y=\frac{6}{3}=2$

Contoh 5:

Tentukan asimtot datar, asimtot miring atau asimtot kurva dari fungsi $f(x)=\frac{2x^3-3}{x^2-1}$

Jawab:

Karena derajat (pangkat tertinggi) pembilang > derajat (pangkat tertinggi) penyebut, asimtotnya berupa asimtot miring atau asimtot kurva, cara menentukannya ialah dengan melaksanakan pembagian polinomial, hasil baginya merupakan persamaan asimtot.

$f(x)=\frac{2x^3-3}{x^2-1}=2x+\frac{2x-3}{x^2-1}$

maka asimtot nya ialah $y=2x$ (asimtot miring dengan gradien 2)

Contoh 6:

Tentukan asimtot datar, asimtot miring atau asimtot kurva dari fungsi $f(x)=\frac{x^3+4x^2+4x+5}{x}$

Jawab:

$f(x)=\frac{x^3+4x^2+4x+5}{x}=x^2+4x+4+\frac{5}{x}$

maka asimtotnya ialah $y=x^2+4x+4$ (asimtot kurva)

Demikianlah cara memilih asimtot dari fungsi rasional, supaya bermanfaat.

Baca juga : Kesalahpahaman mengenai asimtot

$\blacksquare$ Denih Handayani, 1 September 2017

Tweet